M1481. О биссектрисах вписанного треугольника

Квант_1Задача из журнала «Квант» (1995 №2)

Условие

В треугольнике [latex]ABC[/latex] проведена биссектриса [latex]AK[/latex], [latex]D[/latex] — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине [latex]B[/latex] с описанной окружностью. Докажите, что если [latex]\angle A> \angle C[/latex], то

[latex]\sin A / \sin C- \sin \angle CDK/ \sin \angle BDK=1.[/latex]

Доказательство

Пусть углы [latex]A, B, C[/latex] треугольника равны [latex]2\alpha, 2\beta, 2\gamma[/latex] соответственно. Биссектриса внутреннего угла [latex]B[/latex] пересекает дугу [latex]AC[/latex] описанной окружности в точке [latex]L[/latex], диаметрально противоположной [latex]D[/latex](рис. 1).

Рис. 1

Положим [latex]\angle CBD=\delta, \angle BCD=\varepsilon[/latex]. Используя теорему синусов(для [latex]\vartriangle DBK[/latex] и [latex]\vartriangle CDK[/latex]), теорему о биссектрисе треугольника ([latex]BK/KC = AB/AC = \sin 2\gamma / \sin 2\beta[/latex]) и формулу

[latex]2 \sin \varphi \cos\psi = \sin(\varphi + \psi) — \sin(\psi — \varphi)[/latex],

получаем

[latex]\frac{\sin \angle CDK}{\sin \angle BDK} = [/latex] [latex]\frac{KC \sin \varepsilon}{KB \sin \delta} = [/latex] [latex]\frac{ \sin 2\beta \cdot \sin \frac{\pi — 4\gamma — 2\beta}{2}}{\sin 2\gamma \cdot \sin \frac{\pi — 2\beta}{2}} = [/latex]

[latex]\frac{2 \sin \beta \cos \beta \cos(2\gamma + \beta)}{\sin2\gamma \cos \beta} = [/latex] [latex]\frac{\sin(2\beta + 2\gamma)}{\sin2\gamma} — 1 = [/latex] [latex]\frac{\sin2\alpha}{\sin2\gamma} — 1[/latex]

что и требовалось доказать.

Замечание

Если [latex]\angle A< \angle C[/latex] (как на рисунке 2), то меняется лишь знак в формуле

[latex]\sin \varepsilon = \sin(2\gamma + \beta — \pi /2)= — \cos (2\gamma + \beta)[/latex]

а [latex]\sin \delta[/latex] по-прежнемe равен [latex]\sin( \beta + \pi /2) = \cos \beta[/latex], так что равенство в условии принимает вид

[latex]\frac{\sin A}{\sin C} + \frac{\sin \angle CDK}{\sin \angle BDK} = 1[/latex]

Рис. 2

Тест 2016

Рабочее тестирование плагина в 2016 году

M1481. О биссектрисах вписанного треугольника: 1 комментарий

  1. Закодируйте правильно тригонометрические функции.
    Разбейте длинную формулу на несколько (после каждого знака равенства).
    Где-то пропущены пробелы.
    Уберите кириллицу из Permalink.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *