Замкнутые и полные ортонормированные системы

Рассмотрим произвольную ортонормированную систему $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ в евклидовом пространстве $R$.

Определение

Ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ называется замкнутой, если для любого $f\in R$ и для любого $\varepsilon >0$ найдется такая линейная комбинация конечного числа элементов $\{ { \varphi  }_{ k }\},$ что будет верно следующее неравенство:
$$\left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { c }_{ k }{ \varphi  }_{ k } }  \right\| <\varepsilon.$$

Запишем неравенство Бесселя:
$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ k }^{ 2 } } \le { \left\| f \right\|  }^{ 2 },$$
где ${ \{ a }_{ k }\}$ — коэффициенты Фурье элемента $f$ по некоторой ортонормированной системе.

Теорема 1 (равенство Парсеваля)

Если ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\} $ замкнута для любого элемента $f\in R$, то неравенство Бесселя обращается в равенство Парсеваля:
$$\left\| \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (f,{ \varphi  }_{ k }) }^{ 2 } }  \right\| ={ \left\| f \right\|  }^{ 2 }.$$

Доказательство показать

Теорема 2

Если ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ замкнута в $R$, то для любого элемента $f\in R$ его ряд Фурье сходится к $f$ по норме пространства $R:$
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ (f,{ \varphi  }_{ k }) } { \varphi  }_{ k } \right\|  } =0.$$

Доказательство показать

Определение

$\{ { \varphi  }_{ k }\}$ — ортонормированная система, $ f\in R$. $\{ { \varphi  }_{ k }\} $ называется полной, если из равенств $(f,{ \varphi  }_{ k })=0,\quad k=\overline { 1,n }$ следует, что $f$ — нулевой элемент в $R$.

Теорема 3

Если ортонормированная система замкнута, то она полная.

Доказательство показать

Литература

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *