Мера Жордана в n-мерном пространстве

Для начала определим некоторые важные понятия и рассмотрим их свойства.

Клеточное множество в $\mathbb{R}^n$

Пусть задано множество $A$. Совокупность множеств $\left \{ A_1,A_2,…,A_n \right \}$ назовем разбиением множества $A$, если выполнены условия:
1) $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^n A_i$.
2) Множества $ A_1,A_2,…,A_n$ попарно не пересекаются.
Множество
$$
\Pi=\left\{\left(x_1,…,x_n\right):\; a_i\leq x_i < b_i, \;i=\overline{1,n}\right\}
$$
будем называть клеткой в $\mathbb{R}^n$. Пустое множество — тоже клетка, размер которой бесконечно мал.
Множество $A\in\mathbb{R}^n$ называется клеточным, если оно является объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.

Свойства клеточных множеств.

Свойство 1. Пересечение двух клеток есть клетка.

Доказательство показать

Свойство 2. Объединение конечного числа непересекающихся клеточных множеств является клеточным множетсвом

Доказательство показать

Свойство 3. Пересечение двух клеточных множеств есть клеточное множество.

Доказательство показать

Свойство 4. Разность двух клеток есть клеточное множество.

Доказательство показать

Свойство 5. Разность двух клеточных множеств есть клеточное множество.

Доказательство показать

Свойство 6. Объединение конечного числа клеточных множеств есть клеточное множество

Доказательство показать

Мера клеточного множества

Ребром клетки назовем любой из ее составляющих полуинтервалов $\left[a_i,\;b_i\right)$.
Мерой клетки будем называть произведение длин ее ребер: $$ m\left(\Pi\right)=\left(b_1-a_1\right)…(b_n-a_n) $$ Для одномерного случая это будет длина полуинтервала, для двумерного — площадь прямоугольника, для трехмерного — объем параллелепипеда.
Мерой клеточного множества $A$ назовем число:
$$
m\left(A\right)=\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_i\right),
$$
где $\Pi_1,…,\Pi_p$ — разбиение множества $A$.
Теперь докажем корректность определения.

Лемма 1. Мера клеточного множества не зависит от способа разбиения этого множества на клетки.

Доказательство показать

Свойства меры клеточных множеств

Свойство 1. Если клеточные множества $A_1,…,A_p$ попарно не пересекаются, то
$$
m\left(\bigcup_{i=1}^pA_i\right)=\sum_{i=1}^pm\left(A_i\right)
$$

Доказательство показать

Свойство 2. Если $A$ и $B$- клеточные множества и $A\subset B$, то
$$
m\left(B\right)=m\left(A\right)+m\left(B\setminus A\right),\; m\left(A\right)\leq m\left(B\right).
$$

Доказательство показать

Свойство 3. Если $A_1,…,A_p$ — клеточные множества, то
$$
m\left(\bigcup_{i=1}^pA_i\right)\leq \sum_{i=1}^pm\left(A_i\right)
$$

Доказательство показать

Внутренностью клеточного множества назовем совокупность всех его внутренних точек, границей клетки — совокупность всех ее ребер.

Свойство 4. Для любого клеточного множества $A$ и любого $\varepsilon>0$ существует клеточное множество $A_\varepsilon,$ такое что $A_\varepsilon\subset\overline{A_\varepsilon}\subset A^0\subset A,$ где $\overline{A_\varepsilon}$ — замыкание множества $A_\varepsilon$, $A^0\;$ — внутренность множества $A_\varepsilon$.

Доказательство показать

Подготовив все необходимые понятия, перейдем к основной части нашей работы.

Мера Жордана

Множество $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ называется измеримым по Жордану, если для любого $\varepsilon>0$ найдутся два клеточных множества $A, B$, такие что $A \subset \Omega \subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)<\varepsilon$.

method-draw-image
Рис. 1. Иллюстрация к определению множества, измеримого по Жордану.

Мы видим, что $$\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)\leq\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right).$$
Числа $\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)$ и $\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right)$ называются соответственно нижней и верхней мерой Жордана. Если эти меры равны, то множество $m\left(\Omega\right)$ — измеримо, а его мерой будет число $m\left(\Omega\right)=\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)=\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right)$.
Докажем корректность определения.

Лемма 2. В определении меры измеримого по Жордану множества $\Omega$ число $m\left(\Omega\right)$ существует и единственно, причем
$$
m\left(A\right)\leq m\left(\Omega\right)\leq m\left(B\right)
$$

Доказательство показать

Рассмотрим еще один важный случай.

Множества жордановой меры нуль

Чтобы определить понятие множества меры нуль, докажем небольшую лемму.

Лемма 3. Если $E\subset\mathbb{R}^n$ и для любого $\varepsilon>0$ найдется клеточное множество $B=B_\varepsilon$ такое что $E\subset B$ и $mB<\varepsilon$, то $mE=0$

Доказательство показать

Определенное таким образом множество будем называть множеством меры нуль. Такие множества обладают некоторыми важными свойствами, которые мы сейчас и рассмотрим.

Свойство 1. Объединение конечного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.

Доказательство показать

Свойство 2. Подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль.

Доказательство показать

Логично, что должны быть определенные необходимые и достаточные условия измеримости множества по Жордану. Прежде чем перейти к ним, докажем вспомогательную лемму.

Лемма 4 Если связное множество $A\subset\mathbb{R}^n$ не имеет общих точек с границей множества $B\subset\mathbb{R}^n$, то $A$ лежит либо внутри $B$, либо внутри его дополнения.

Доказательство показать

И, наконец, докажем критерий.

Теорема(критерий измеримости множества в $\mathbb{R}^n$). Множество $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ будет измеримым по Жордану тогда и только тогда, когда оно ограниченно, а его граница $\partial\Omega$ имеет жорданову меру нуль.

Доказательство показать

Свойства множеств, измеримых по Жордану

Свойство 1. Если множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$ измеримы по Жордану, то множества $\Omega_1\cap\Omega_2$, $\Omega_1\setminus \Omega_2$, и $\Omega_1\cup\Omega_2$ также измеримы по Жордану.

Доказательство показать

Свойство 2. Если множества $\Omega_i,\;i=\overline{1,n}$ измеримы по Жордану, то и множествo $\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i$ измеримо по Жордану, и
$$
m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i\right)\leq\sum\limits_{i=1}^nm\left(\Omega_i\right).
$$
Если множества $\Omega_i,i=\overline{1,n}$ попарно не пересекаются, то
$$
m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i\right)=\sum\limits_{i=1}^nm\left(\Omega_i\right).
$$

Доказательство показать

Пример

показать

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Тест "Мера Жордана"

Пройдите небольшой тест, чтобы закрепить ваши знания.

Таблица лучших: Тест "Мера Жордана"

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Мера Жордана в n-мерном пространстве: 2 комментария

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *