Равномерная сходимость и дифференцирование

Теорема о почленном дифференцировании

Если каждая функция f_n(x) имеет производную на сегменте \left[a,b\right], при чем последовательность производных сходиться равномерно на сегменте \left[a,b\right], а сама последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходиться хотя бы в одной точке x_{0} сегмента \left[a,b\right],то последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходиться к некоторой предельной функции f_n(x) равномерно на сегменте \left[a,b\right], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте \left[a,b\right] почленно, т.е. всюду на сегменте \left[a,b\right] предельная функция имеет производную f'(x) являющуюся предельной функцией последовательности \left\{ f'_n(x)\right\}

Доказательство. Докажем сначала, что последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходится равномерно на сегменте \left[a,b\right]. Из сходимости числовой последовательности \left\{ f_n(x_{0})\right\} и из равномерной сходимости \left\{ f'_n(x)\right\} на сегменте \left[a,b\right] следует, что для любого \varepsilon>0 найдется номер N(\varepsilon) такой, что $$\mid f_{n+p}(x_{0})- f_{n}(x_{0})\mid<\frac{\varepsilon}{2}, \mid f'_{n+p}(x)- f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$$

для всех n\geq N(\varepsilon), всех натуральных p и для всех x из сегмента \left[a,b\right] Так как для функции \left[f_{n+p}(t)-f_{n}(t)\right] при любых фиксированных номерах n и p выполнены на сегменте, ограниченном точками x и x_{0} все условия теоремы Лагранжа, то между x и x_{0} найдется такая точка \varepsilon такая, что $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |-\left | f_{n+p}(x_{0})-f_{n}(x_{0}) \right |=\left | f’_{n+p}(\varepsilon )-f’_{n}(\varepsilon ) \right |(x-x_{0})$$

Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |<\varepsilon $$

Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность \left\{ f_n(x)\right\} сходиться равномерно на сегменте \left[a,b\right] к некоторой предельной функции f(x)

Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке x сегмента \left[a,b\right] имеет производную.

Фиксируем произвольную точку x сегмента \left[a,b\right] и по ней \delta>0 такое, что бы \delta-окрестность точки x целиком содержалась в \left[a,b\right]

Обозначим символом \left \{ \Delta x \right \} множество всех чисел \Delta x, удовлетворяющих условию 0 < \left | \Delta x \right | < \delta, при a < x < b, условию 0 < \Delta x < \delta при x=a и условию  -\delta <\Delta x < 0 при x=b и докажем, что последовательность функций аргумента \Delta x $$\varphi_{n}(\Delta x) = \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x}$$

сходится равномерно на указанном множестве \left \{ \Delta x \right \}

Для произвольного \varepsilon>0 в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности \left\{ f'_n(x)\right\} найдется номер N(\varepsilon) такой, что $$\left | f’_{n+p}(x)-f’_{n}(x) \right | < \varepsilon$$

Фиксируем теперь произвольное \Delta x из множества \left<br /> \{ \Delta x \right \} и при любых фиксированных номерах n и p применим к функции $$\left [ f_{n+p}(t)-f_{n}(t) \right ]$$

по сегменту, ограниченному точками x и \left ( x+\Delta x \right ), теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число \Theta из интервала 0 < \Theta < 1 такое, что $$\frac{\left [ f_{n+p}(x+\Delta x) — f_{n}(x+\Delta x) \right ] — \left [ f_{n+p}(x) — f_{n}(x) \right ]}{\Delta x}=$$ $$= f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Последнее равенство можно переписать в виде $$\varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) = f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Из этого равенства заключаем, что $$\left | \varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) \right | < \varepsilon$$

В силу критерия Коши последовательность \left \{ \varphi _{n}(\Delta x) \right \} сходится равномерно на множестве \left \{ \Delta x \right \}. Но тогда к этой последовательности можно применить теорему о почленном предельном переходе в точке \Delta x = 0. Согласно этой теореме функция $$\frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

являющаяся предельной функцией последовательности имеет предел в точке \Delta x = 0, причем этот предел можно вычислять почленно, т.е. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{f(x+\Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\left [ \lim_{n\rightarrow \infty } \varphi_{n}(\Delta x) \right ] = $$ $$=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\varphi_{n}(\Delta x) \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 } \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x} \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$$

Это и доказывает, что производная предельной функции f(x) в точке x существует и равна \lim_{n \rightarrow \infty }f'_{n}(x). Теорема доказана.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *