Равномерная сходимость и интегрирование

Теорема (об интегрировании)

Если последовательность непрерывных на сегменте \left [ a,b \right ] функций s_{1}(x), s_{2}(x),...s_{n}(x),... сходиться равномерно в этом сегменте к предельной функции S(x), то при любых a\leq \alpha \leq \beta \leq b $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

Доказательство. Заметим прежде всего, что в наших условиях предельная функция S(x) является непрерывной, и поэтому интеграл $$ \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

имеет смысл.

Ввиду обусловленной равномерной сходимости последовательности к предельной функции S(x) по любому \varepsilon < 0 найдется такое n_{0}, что при n\geq n_{0} для любого a\leq x\leq b будет выполняться неравенство $$\left | S(x) — S_{n}(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$$

поэтому $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | = \left | \int_{\alpha }^{\beta }(S_{n}(x)-S(x))dx \right | \leq $$ $$\leq \int_{\alpha }^{\beta }\left | S_{n}(x) — S(x)dx \right |< \int_{\alpha }^{\beta }\frac{\varepsilon }{b-a}dx = \varepsilon \frac{\beta - \alpha }{b-a} \leq \varepsilon $$

Таким образом, по произвольному \varepsilon < 0 нашлось такое n_{0}, что при n\geq n_{0} $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | < \varepsilon $$

а это и означает сходимость.

Теорема (о почленном интегрировании рядов).

Если функциональный ряд u_{1}(x) + u_{2}(x) + ... + u_{n}(x) +... сходиться равномерно на некотором сегменте \left [ a,b \right ], и имеет суммой функцию S(x), то функциональный ряд интегралов $$\int_{\alpha }^{y }u_{1}(x)dx + \int_{\alpha }^{y }u_{2}(x)dx + … +\int_{\alpha }^{y }u_{n}(x)dx + …$$

так же сходится равномерно на этом сегменте и имеет суммой функцию $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

Доказательство. Пусть S_{n}(x) - n-ая частичная сумма ряда. Тогда $$\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{y}(u_{1}(x)+u_{2}(x)+…+u_n{x}(x))dx$$

будет, очевидно, n-ой частной суммой ряда. По условию теоремы последовательность S_{1}(x), S_{2}(x),...S_{n}(x),... частичных сумм ряда сходиться на сегменте \left [ a,b \right ] равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом последовательность интегралов $$\int_{\alpha }^{y}S_{1}(x)dx, \int_{\alpha }^{y}S_{2}(x)dx, … ,\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx, …$$

так же сходиться и имеет пределом $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

маленькая викторина

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *