Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Пусть дана гладкая кривая \Gamma, которая задана уравнением в координатной форме, то есть \Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \} и пусть функция f(x, y, z) непрерывна вдоль кривой \Gamma. Тогда существует криволинейный интеграл первого рода \int_{\Gamma}f(x, y, z)ds и выполняется равенство:
$${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\,dt.$$

Замечания:

  • Если \Gamma =\left \{ y = \psi(x), \alpha \leq x\leq \beta \right \} и y = \psi(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b] и существует криволинейный интеграл первого рода \int_{\Gamma}f(x, y)ds, то выполняется равенство:
    $${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x, \psi(x))\sqrt{1 +(\psi'(x))^2}\,dx.$$
  • Если \Gamma =\left \{ x = \varphi  (y), \alpha \leq y\leq \beta \right \}, то
    $$ { \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(\varphi (y), y)\sqrt{1 +(\varphi'(y))^2}\,dy.$$


    Пример показать
    .
  • В случае, если кривая \Gamma задана в полярной системе координат, то есть \Gamma = \left \{ \left. r = r(\varphi), \varphi_1\leq \varphi \leq \varphi _2 \right \} \right. и r(\varphi) непрерывно дифференцируема на отрезке [\varphi_1, \varphi_2], то выполняется равенство:
    $${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\varphi_2}{ \underset {\varphi_1}{ \int }} f(r(\varphi) \cos\varphi, r(\varphi) \sin\varphi)\sqrt{{r}^2(\varphi) + {(r'(\varphi))^2}}\,d\varphi.$$


    Пример показать

Литература

Тест

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.


Таблица лучших: Криволинейные интегралы. Вычисление

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Вычисление криволинейных интегралов первого рода: 1 комментарий

  1. я насчитала 6 типов вопросов (Single choice, Multiple choice, «Free» choice, «Sorting» choice, «Matrix Sorting» choice, Cloze)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *