Критерий потенциальности поля

Теорема

Для того чтобы дифференцируемое в области $G$ поле было потенциальным необходимо, а в случае односвязной области и достаточно, чтобы выполнялось условие
$$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}.(1)$$

Доказательство:

Необходимость:

Пусть поле $(P(x, y), Q(x, y))$ непрерывно дифференцируемо и потенциально. Тогда
$$P(x, y) = \frac{\partial U(x,y))}{\partial x},\quad Q(x, y) = \frac{\partial U(x,y))}{\partial y},$$ откуда
$$\frac{\partial Q(x,y))}{\partial x}=\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x\,\partial y},\quad
\frac{\partial P(x,y))}{\partial y}=\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y\,\partial x}.$$

Так как производные $\frac{\partial P}{\partial y}$ и $\frac{\partial Q}{\partial x}$ непрерывны, то смешанные производные $U_{x,y},\,U_{y,x}$ также непрерывны, а следовательно, равны. Условие (1) выполнено в области $G$.

Достаточность:

Пусть поле $(P, Q)$ задано в односвязной области $G \subset \mathbb{R}^{2}$ и выполнено условие (1).

Возьмем произвольную простую замкнутую ломанную $L \subset G$. Так как область $G$ односвязна, то ограничиваемая ломанной $L$ область $\Omega \subset G$ и к ней применима формула Грина:
$${ \underset { L }{ \int } \left(P\,dx+Q\,dy\right)}={ \underset { \Omega }{ \iint } (\frac{\partial Q}{\partial x} — \frac{\partial P}{\partial y})dx\,dy}=0.(2)$$

Таким образом, интеграл (2) равен нулю для любой простой замкнутой ломанной $L$.

Покажем, что интеграл (2) равен нулю для любой простой замкнутой ломанной (даже имеющей точки самопересечения).

Для трехзвенной ломанной интеграл (2) всегда равен нулю, если эта ломанная замкнута. Если три её вершины не лежат на одной прямой, то трехзвенная ломанная будет простой и по доказанному интеграл (2) равен нулю. Если же все три вершины лежат на одной прямой, то и в этом случае интеграл равен нулю(иллюстрация 1).
Иллюстрация 1
Докажем, что интеграл (2) равен нулю для любой $n$-звенной замкнутой ломанной индукцией по числу звеньев.

Пусть выполнено условие (1) и интеграл (2) равен нулю по любой замкнутой ломанной, число звеньев которой меньше, чем $n$. Покажем тогда, что он равен нулю и для любой $n$-звенной ломанной. Если ломанная $L(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n},A_{1})$ простая, то это уже доказано. Пусть у $L$ есть точки самопересечения. Предположим, что два звена, $A_{1}A_{2}$ и $A_{k}A_{k+1}$, пересекаются. Тогда либо они пересекаются в единственной точке $B$(иллюстрация 1), либо эти два звена пересекаются по целому отрезку. В этом случае точки $A_{1},\,A_{2},\,A_{k},\,A_{k+1}$ лежат на одной прямой(иллюстрация 2).

Иллюстрация 2
Рассмотрим случай, когда звенья пересекаются в единственной точке. За последующими рассуждениями проще следить по иллюстрации 2. В случаях 1 и 2 ломанная $L$ будет объединением замкнутых ломанных $L_{1}(B, A_{k+1},\cdots,A_{n},A_{1},B)$ и $L_{2}(B, A_{2},\cdots,A_{k},B)$. Количество звеньев $L_{1}$ и $L_{2}$ меньше $n$. По предположению индукции интеграл (2) по каждой из этих ломанных равен нулю. Следовательно, он равен нулю и по их объединению ломанной $L$.

Аналогично рассматривается и второй случай, когда точки $A_{1},A_{2},A_{k},A_{k+1}$ лежат на одной прямой и отрезки $A_{1}A_{2}$ и $A_{k}A_{k+1}$ пересекаются. Без ограничения общности можно считать, что точка $A_{k}$ лежит на отрезке $A_{1}A_{2}$. Тогда $L$ есть объединение замкнутых ломанных $L_{1}(A_{k}, A_{k+1},\cdots,A_{n},A_{1}, A_{k})$ и $L_{2}(A_{k},A_{2},\cdots,A_{k+1},A_{k})$, имеющих меньше, чем $n$ звеньев. Интеграл (2) по $L_{1}$ и $L_{2}$ равен нулю. Следовательно, он равен нулю и по ломанной $L$.

Так как интеграл (2) равен нулю на любой замкнутой ломанной $L\subset G$, то в силу теоремы об условиях независимости величины криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования, поле $(P,Q)$ будет потенциальным. Что и требовалось доказать!

Пример 1 показать

Пример 2 показать

Пример 3 показать

Список использованной литературы:

Критерий потенциальности поля

Предлагаем пройти тест на закрепление знаний по данной статье


Таблица лучших: Критерий потенциальности поля

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий потенциальности поля: 2 комментария

  1. — Огромные пустые поля в первом рисунке.
    — Вопрос «Восстановите последовательность» подразумевает только одну правильную последовательность. У Вас она одна правильная?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *