Криволинейные интегралы первого рода и их свойства

Определение

Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат и задана гладкая кривая  \Gamma уравнением в координатной форме, то есть \Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \}. Пусть теперь на множестве, которое входит в данное пространство задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда определенный интеграл вида:
$$\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$ называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой  \Gamma.

Свойства криволинейных интегралов первого рода

  • Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой, то есть
    $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$

    Доказательство показать

  • Криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой, то есть
    $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds = { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds $$

    Доказательство показать

  • Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

    Доказательство показать

    Замечание: если для параметризации кривой \Gamma использовать натуральный параметр (длину дуги), то криволинейный интеграл первого рода приобретет следующий вид:
    $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds, $$
    так как |r'(s)| = 1, 0\leq s\leq S.

Физический смысл криволинейных интегралов первого рода

Пусть криволинейный интеграл первого рода представлен в следующем виде:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds. $$
Если правую часть равенства записать в виде предела интегральных сумм, то тогда получим:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \underset { l(T) \rightarrow 0 }{ \lim } \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i, y_i, z_i)\Delta s_i,$$
где x_i = x(s_i), y = y(s_i), z_i = z(s_i), T — разбиение отрезка [0, S], то есть 0 = s_0 < s_1 < ... <s_n = S, \Delta s_i = s_i - s_{i-1}. Разбиению кривой \Gamma на дуги \Gamma _{s_{i-1}s_i}, i = \overline{1,n} (рисунок 1) соответствует разбиение T отрезка [0, S] (рисунок 2).


Рисунок 1 показать


Рисунок 2 показать

Если рассматривать случай, когда функция f(x, y, z) неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность распределения массы, а криволинейный интеграл \int_{\Gamma }f (x, y, z){\mathrm{d}s} - как массу кривой \Gamma.


Пример показать

Литература

Тест

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.


Таблица лучших: Криволинейные интегралы первого рода

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *