Учебные работы студентов специальности прикладная математика Одесского национального университета имени И.И.Мечникова по курсу "Интернет технологии"
Криволинейные интегралы первого рода и их свойства
Определение
Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат и задана гладкая кривая уравнением в координатной форме, то есть . Пусть теперь на множестве, которое входит в данное пространство задана непрерывная функция . Тогда определенный интеграл вида:
$$\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$ называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой .
Свойства криволинейных интегралов первого рода
Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой, то есть
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$
Разобьем кривую на части, то есть , таким образом, что конечная точка кривой совпадает с начальной точкой кривой , . Тогда интеграл по свойству аддитивности определенного интеграла, если , , , можно представить следующим образом:
${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =$
$=\sum\limits_{i=1}^{n}\overset {\beta_i}{ \underset {\alpha_i}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =\sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {\Gamma_i}{ \int }}f(x,y,z)\,ds.$
Криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой, то есть
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds = { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds $$
Перейдем от данного уравнения , к уравнению , с помощью представления параметра через непрерывную строго возрастающею функцию другого параметра, то есть . Получим:
\(\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt =\)
\(= \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t(\tau)), y(t(\tau)), z(t(\tau)))\left | \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}(t(\tau)) \right|t'(\tau)\,d\tau =\)
\(=\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(\xi(\tau), \eta(\tau), \zeta(\tau))\,d\tau\),
где \(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} = |r'(t)|\).
Замечание: если для параметризации кривой использовать натуральный параметр (длину дуги), то криволинейный интеграл первого рода приобретет следующий вид:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds, $$
так как , .
Физический смысл криволинейных интегралов первого рода
Пусть криволинейный интеграл первого рода представлен в следующем виде:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds. $$
Если правую часть равенства записать в виде предела интегральных сумм, то тогда получим:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \underset { l(T) \rightarrow 0 }{ \lim } \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i, y_i, z_i)\Delta s_i,$$
где , , , — разбиение отрезка , то есть , . Разбиению кривой на дуги , (рисунок 1) соответствует разбиение отрезка (рисунок 2).
Если рассматривать случай, когда функция неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность распределения массы, а криволинейный интеграл как массу кривой .