Необходимые понятия
Разбиения
Пусть множество $G$ измеримо по Жордану в $\mathbb{R}^{n}$. Совокупность измеримых по Жордану в $\mathbb{R}^{n}$ и попарно непересекающихся множеств $G_{1}, …, G_{N}$ называется разбиением $G$, если $G=\bigcup_{i=1}^{N}G_{i}.$ Разбиение будем обозначать буквой $T$.
Пусть $d\left ( G_{i} \right )$ есть диаметр множества $G_{i}$, т. е. $$d\left ( G_{i} \right )=\underset{x\in G_{i}, y\in G_{i}}{\sup}\rho \left ( x,y \right ).$$
Число $l\left ( T \right )=\underset{i=\overline{1,N}}{\max d\left(G_{i} \right )}$ будем называть мелкостью разбиения $T$.
Разбиение $T=\left \{ G_{i} \right \},$ $i=\overline{1,N}$, будем называть продолжением разбиения $ {T}’=\left \{ {G}’_{i} \right \},$ $i=\overline{1,N}$, и писать $T\prec{T}’$, если каждое из множеств $G_{i}$ является подмножеством некоторого множества ${G}’_{k}$. Очевидно, что из $T\prec{T}’$ следует, что $l\left ( T \right )\leq l\left ( {T}’ \right )$.
Интегральные суммы Римана. Суммы Дарбу
Пусть функция $f\left ( x \right )$ определена на измеримом по Жордану множестве $G$, а $T$ есть разбиение множества $G:~ T=\left \{ G_{i} \right \}, i=\overline{1,N}.$ Возьмем в каждом из множеств $G_{i}$ по точке $\xi _{i}$. Выражение $$\sigma _{T}\left ( f, \xi, G\right )=\sum_{i=1}^{N}f\left ( \xi _{i} \right )m\left ( G_{i} \right)$$ называется интегральной суммой Римана функции $f\left ( x \right )$ на множестве $G$, соответствующей разбиению $T$ и выборке $\xi =\left ( \xi _{1}, …, \xi _{N} \right )$. Иногда для краткости сумма Римана обозначается просто через $\sigma _{T}$.
Если функция $f\left ( x \right )$ ограничена на множестве $G$, то для любого разбиения $T=\left \{ G_{i} \right \}, i=\overline{1,N}$, определены числа $$m_{i}=\underset{x\in G_{i}}{\inf}f\left ( x \right ), ~~M_{i}=\underset{x\in G_{i}}{\sup }f\left ( x \right ).$$
Выражения $$S_{T}=\sum_{i=1}^{N}M_{i}m\left ( G_{i} \right ),~~s_{T}=\sum_{i=1}^{N}m_{i}m\left ( G_{i} \right )$$ называются верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими разбиению $T$.
Определение
Число $I$ называется пределом интегральной суммы $\sigma _{T}$ при мелкости разбиения $l\left ( T \right )\rightarrow 0$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется $\delta > 0$ такое, что для любого разбиения $T$ с мелкостью $l\left ( T \right )< \delta $ и для любой выборки выполняется неравенство $$\left | I-\sigma _{T}\left ( f, \xi , G \right ) \right |< \varepsilon.$$
Если число $I$ есть предел интегральной суммы при $l\left ( T \right )\rightarrow 0$, то будем писать $I=\underset{l\left ( T \right )\rightarrow 0}{\lim }\sigma _{T}$, само число $I$ будем называть кратным интегралом Римана от функции $f\left ( x \right )$ по множеству $G$, а функцию $f\left ( x \right )$ — интегрируемой на множестве $G$. Для кратного интеграла Римана используются следующие обозначения: $$\underset{G}{\int}f\left(x\right)dx,~~\underset{n}{\underbrace{\underset{G}{\int…\int }}}f\left ( x_{1}, …, x_{n} \right )dx_{1}…dx_{n}.$$
В случае $n=2$ интеграл называется двойным, а в случае $n=3$ — тройным. Обозначения для двойного и тройного интеграла: $$\underset{G}{\iint}f\left ( x,y \right )dxdy,~~\underset{G}{\iiint} f\left ( x,y,z \right)dxdydz.$$
Свойства кратного интеграла
- Свойство 1.
- Справедливо равенство $\underset{G}{\int}1\cdot dx=m\left ( G \right )$.
Спойлер
$\square$ Для любого разбиения $T$ выполнено равенство $$\sigma_{T}\left ( 1,\xi, G \right )=\sum_{i=1}^{N}m\left ( G_{i} \right ). ~~ \blacksquare$$
[свернуть] - Свойство 2.
- Если $f\left ( x \right )> 0$ и $f\left ( x \right )$ — интегрируемая на измеримом по Жордану множестве $G$ функция, то $\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\geq 0$.
Спойлер
Аналогично доказательству соответствующего свойства определенного интеграла от положительной функции.
[свернуть] - Свойство 3.
- Если $f_{1}\left ( x \right )$ и $f_{2}\left ( x \right )$ — интегрируемые на множестве $G$ функции, а $\alpha$ и $\beta$ — произвольные вещественные числа, то и функция $\alpha f_{1}\left ( x \right )+\beta f_{2}\left ( x \right )$ интегрируема на $G$, причем $$\underset{G}{\int }\left ( \alpha f_{1}\left ( x \right ) + \beta f_{2}\left ( x \right ) \right )dx=$$ $$=\alpha \underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx+\beta \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$$
Спойлер
Аналогично доказательству соответствующего свойства аддитивности определенного интеграла.
[свернуть] - Свойство 4.
- Если $f_{1}\left ( x \right )$ и $f_{2}\left ( x \right )$ — интегрируемые на множестве $G$ функции и $f_{1}\left ( x \right )\leq f_{2}\left ( x \right )$ при $x\in G$, то $$\underset{G}{\int }f_{1}\left ( x \right )dx\leq \underset{G}{\int }f_{2}\left ( x \right )dx.$$
Спойлер
Аналогично доказательству соответствующего свойства монотонности определенного интеграла.
[свернуть] - Свойство 5.
- Если функция $f\left ( x \right )$ непрерывна на измеримом связном компакте $G$, то найдется точка $\xi \in G$ такая, что $$\underset{G}{\int }f\left ( x\right )dx=f\left ( \xi \right )m\left ( G \right ).$$
Спойлер
$\square$ Если $m\left ( G \right )=0$, то равенство очевидно. Пусть $m\left ( G \right )>0$, $\mu =\underset{x\in G}{\min} f,~M=\underset{x \in G}{\max}f$. Тогда $\mu\leq f\left ( x \right )\leq M$ при $x \in G$, $\mu m\left ( G \right )\leq \underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\leq Mm\left ( G \right ).$
Следовательно, $$\mu \leq \frac{1}{m\left ( G \right )}\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx\leq M.$$
Функция, непрерывная на связном множестве и принимающая на нем значения $\mu$ и $M$, принимает и все промежуточные значения, а поэтому существует точка $\xi \in G$ такая, что $$f\left ( \xi \right )= \frac{1}{m\left ( G \right )}\underset{G}{\int }f\left ( x \right )dx. ~~\blacksquare$$
[свернуть] - Свойство 6.
- Если $\left \{ G_{k} \right \}, k=\overline{1,m}$, есть разбиение множества $G,$ то функция $f\left ( x \right )$ интегрируема на множестве $G$ в том и только том случае, когда она интегрируема на каждом из множеств $G_{k},$ причем $$\underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx= \sum_{k=1}^{m}\underset{G_{k}}{\int}f\left ( x \right )dx.$$
- Свойство 7.
- Произведение интегрируемых на измеримом множестве $G$ функций есть интегрируемая на множестве $G$ функция.
Спойлер
Аналогично доказательству соответствующего свойства определенного интеграла.
[свернуть] - Свойство 8.
- Если функция $f\left ( x \right )$ интегрируема на измеримом множестве $G$, то функция $\left | f\left ( x \right ) \right |$ также интегрируема и $$\left | \underset{G}{\int}f\left ( x \right )dx \right |\leq \underset{G}{\int }\left | f\left ( x \right ) \right |dx.$$
Спойлер
Аналогично доказательству соответствующего свойства определенного интеграла.
[свернуть]
Примеры
Пример 1
Определить какой знак имеет интеграл $\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-x^2-y^2}dxdy.$
В силу свойства аддитивности кратного интеграла, имеем: $$\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy=$$ $$=\underset{x^2+y^2\leq 1}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~+\underset{1\leq x^2+y^2\leq 2}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~+$$ $$+\underset{2\leq x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy.$$
Для каждой точки $\left ( x,y \right )$ из круга $x^2+y^2\leq 1$ найдется точка $\left ( \bar{x},\bar{y} \right )$ из кольца $1\leq x^2+y^2\leq 2$ такая, что $\sqrt[3]{1-\left ( x^2+y^2 \right )}+\sqrt[3]{1-\left ( \bar{x^2}+\bar{y^2 }\right )}=0$, поэтому приходим к выводу, что $$\underset{x^2+y^2\leq 1}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~+\underset{1\leq x^2+y^2\leq 2}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~=$$
$$=\underset{x^2+y^2\leq 2}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy,$$ $$\underset{x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy~~=\underset{2\leq x^2+y^2\leq 4}{\iint}\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}dxdy.$$
Так как $\sqrt[3]{1-\left (x^2+y^2 \right )}< 0$, когда $\left ( x,y \right )\in \left \{ 2\leq x^2+y^2 \leq 4\right \}$, то (принимая во внимание последнее равенство) исследуемый интеграл отрицателен.
При решении данного примера мы воспользовались тем, что интеграл Римана интегрируемой функции $f$ не зависит от способа разбиения области интегрирования и выбора точек $\xi_{i}$ в каждой из ячеек разбиения.
Пример 2 (вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла)
Вычислить площадь фигуры, занимающей область $D$, ограниченную линиями $x=y^2$ и $x+y=2$.
Если плоская фигура занимает область $D\subset XOY$, то ее площадь может быть вычислена с помощью двойного интеграла по его свойству о значении интеграла от функции, тождественно равной единице на области интегрирования. В результате получается формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла: $$S_{D}=\underset{D}{\iint}dS~~(*)$$
Строим область $D$ и записываем ее системой неравенств: $$D:\left\{\begin{matrix}-2\leq y\leq 1\\ y^{2}\leq x\leq 2-y\end{matrix}\right.$$ По формуле $(*)$ вычисляем площадь: $$S_{D}=\underset{D}{\iint }dS=\underset{D}{\iint }dxdy=\int\limits_{-2}^{1}dy\int\limits_{y^{2}}^{2-y}=$$ $$=\int\limits_{-2}^{1}dy~\cdot~x \Big|_{y^2}^{2-y}=\int\limits_{-2}^{1}\left ( 2-y-y^2 \right )dy=\left ( 2y-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3} \right )\Big|_{-2}^1=$$ $$2\left ( 1+2 \right )-\frac{1}{2}\left ( 1-4 \right )-\frac{1}{3}\left ( 1+8 \right )=4.5$$
Ответ: $S_{D}=4.5$ (кв. ед.).
Пример 3 (вычисление объема с помощью двойного интеграла)
Пусть цилиндрический брус ограничен сверху непрерывной поверхностью $z=f\left (x,y \right)$, снизу — плоскостью $z=0$, с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси $Oz$. Если указанная цилиндрическая поверхность вырезает из плоскости $Oxy$ квадрируемую замкнутую область $D$, то объем $V$ бруса вычисляется по формуле: $$V=\underset{D}{\iint}f\left ( x,y \right )dxdy.~~(**)$$
Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $$z=x^2+y^2,~y=x^2,~y=1,~z=0.$$
Тело ограничено сверху параболоидом вращения $z=x^2+y^2$, снизу — плоскостью $Oxy$, с боков — цилиндрической поверхностью $y=x^2$ и плоскостью $y=1$, вырезающими из плоскости $Oxy$ квадрируемую замкнутую область $D=\left \{ -\leq x\leq 1,~x^2 \leq y \leq 1 \right \}.$ В точках множества $D$, симметричных относительно оси $Oy$, функция $z=x^2+y^2$ принимает равные значения, поэтому $$V=2\underset{x^2\leq y\leq 1}{\underset{0\leq x\leq 1}{\iint}}\left ( x^2+y^2 \right )dxdy=2\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{x^2}^{1}\left ( x^2+y^2 \right )dy=$$ $$=2\int\limits_{0}^{1}\left ( x^2-x^4+\frac{1}{3}-\frac{x^6}{3} \right )dx=\frac{88}{105}.$$
Литература
Кратный интеграл Римана
Тест: Кратный интеграл Римана.
— Лучше убрать кириллицу из permalinks
— Gravatar не забыли?
— В четвертом вопросе часто/иногда не везде отображаются формулы. Это проблема плагина. Нужно либо переформулировать вопрос, либо заменить его.
Спасибо, исправила.