Интегралы в смысле главного значения . Комплексная форма интеграла Фурье

Пусть функция $f(x): \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке $[a,b]$.
Если существует конечный предел
$$ \lim_{N \rightarrow \infty}\intop_{-N}^{N} f(x)\,dx,$$
то этот предел будем называть интегралом в смысле главного значения и обозначать через $$v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx.$$ Таким образом,
$$v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=\lim_{N \rightarrow \infty}\intop_{-N}^{N} f(x)\,dx.$$
Если $$\intop_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$$ сходящийся, то он существует и в смысле главного значения. Обратное утверждение неверно. Ясно, что для любой нечетной, абсолютно интегрируемой на любом конечном отрезке функции интеграл от этой функции в смысле главного значения равен нулю.
Пусть функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на отрезке$[a,\beta]$, содержащимся в отрезке $[a,b]$ и $c\overline{\in}[a,\beta]$, $c\in(a,b)$.
Тогда:
$$v.p.\intop_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{\epsilon \rightarrow +0} \left[ \intop_{a}^{c-\varepsilon}f(x)\,dx — \intop_{c+\varepsilon}^{b}f(x)\,dx \right]$$
Пусть для абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции $f(x)$ справедливо представление в виде интеграла Фурье, т.е. $\forall x \in \mathbb{R}$ справедливо
$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\,dy \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(y(x-t))}\,dt=$$

$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}a(y)\cos{(yx)}\,dy+\intop_{-\infty}^{+\infty}b(y)\sin{(yx)}\,dy,(1)$$ где
$$a(y)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(yt)}\,dt,$$ $$b(y)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{(yt)}\,dt.$$

Лемма 1. Если $f(x)$ — абсолютно итегрируемая на $\mathbb{R}$, то $a(y)$ и $b(y)$, непрерывны на $\mathbb{R}$.
Докажем непрерывность $a(y)$.
$$a(y)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(yt)} \,dt$$
Из этого следует, что
$$\left|\triangle a(y)\right|=$$ $$=\left| a(y+\triangle y)-a(y)\right|\leq$$ $$\leq\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\left| f(t)\right|\left|\sin{(\frac{t\triangle y}{2})}\right|dt.(2)$$
Так как функция $f(t)$ абсолютно интегрируема, то интервал $(-\infty,+\infty)$ можно разбить на три таких интервала $(-\infty,-c)$,$(-c,c)$ и $(c,+\infty)$, что по бесконечным интервалам интегралы от функции
$\mid f(x) \mid$ меньше либо равны $\frac{\varepsilon}{3}$. Второй интеграл в формуле (2) меньше, чем
$$\frac{c}{2\pi}\mid \triangle y \mid \intop_{-c}^{c}\mid f(t) \mid\, dt,$$
и, следовательно $\exists\delta>0$что при $\mid \triangle y \mid < \delta$ второй интеграл в формуле(1) меньше $\frac{\varepsilon}{3}$. Из (*) следует, что при $\mid \triangle y \mid < \delta$
приращение $\mid \triangle a(y) \mid < \varepsilon$. Рассмотрим несобственный интеграл
$$K(y)=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{(y(x-t))}\,dt=$$

$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)(\sin{(yx)} \cos {(yt)}-\cos{(yx)}\sin{(yt)})\,dt=$$ $$=2\pi(a(y)\sin{(yx)}-b(y)\cos{(yx)}).$$
В силу леммы 1 функция $K(y)$ непрерывна на $\mathbb{R}$. Так как функция $K(y)$ нечетна, то
$$\frac{1}{2\pi}v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty}K(y)\,dy=$$ $$=v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty}\,dy\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)sin\,y(x-t)\,dt=0.(3)$$
Теорема 1. Если для абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции $f(x)$ справедливо $$f(x)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\,dy \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(y(x-t))}\,dt=$$

$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}a(y)\cos{(yx)}\,dy+\intop_{-\infty}^{+\infty}b(y)\sin{(yx)}\,dy$$
то справедливо, что $$f(x)=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\left( \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iyt}\,dt \right) e^{iyx}\,dy,(4)$$

$$f(x)=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\left( \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{iyt}\,dt \right) e^{-iyx}\,dy.(5)$$
(4) получается умножением равенства (3) на мнимую единицу, сложить его с равенством (4) и воспользоваться формулами Эйлера
$$\cos{(y(x-t))}+I\sin{(y(x-t))}=e^{iy(x-t)}=e^{iyx}e^{-iyt}$$
Аналогично получается (5). Интеграл, стоящий в праваой части равенства (4), называется интегралом Фурье $f(x)$ в комплексной форме.

Замечание показать

Примеры

Пример 1.Представить интегралом Фурье в комплексной форме функцию$$ f(x)=\begin{cases}0,x<0\\h, 0 \leq x \leq \tau \\ 0, x>\tau \end{cases}$$

Решение показать

Пример 2. Представить интегралом Фурье в комплексной форме функцию $$f(x)=\begin{cases}-e^{-2x},x \geq0,\\2e^{x},x<0 \end{cases}$$

Решение показать

Интегралы в смысле главного значения

Рекомендуется пройти


 

Литература

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *