Единственность предела сходящейся последовательности

Теорема (единственность предела)

Если последовательность $\{ x^{(n)} \}$ имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Предположим противное. Пусть $\{ x^{(n)} \}$ сходится к точкам $a$ и $b$, то есть $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = b$. Тогда, по определению предела сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$ и $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, b) = 0$. В силу неравенства треугольника, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполнено неравенство $$0 \le \rho(a, b) \le \rho(a, x^{(n)}) + \rho(b, x^{(n)}).$$ Так как числовые последовательности $\rho(a, x^{(n)})$ и $\rho(b, x^{(n)})$ бесконечно малые, то $\rho(a, b) = 0$. Тогда, по аксиоме тождества в метрическом пространстве, $a = b$. Это доказывает единственность предела последовательности.

Источники

  • Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *