М1304. Задача о связи вписанной и описанной окружностей в треугольнике

Задача из журнала «Квант» (1991)

Условие

Пусть I — центр вписанной окружности в треугольнике ABC, R — радиус описанной окружности. Докажите, что $${R}^{3}\geq IA\cdot IB\cdot IC.$$

Иллюстрация к задаче

kvant (2)

Решение

Пусть \alpha, \beta, \gamma — углы треугольника, x, y, z — отрезки, на которые точки касания с вписанной окружностью разбивают его стороны. Поскольку радиус R равен половине отношения стороны к синусу к синусу противоположного угла (теорема синусов), а отрезки IA, IB, IC выражаются через x, y, z и углы из прямоугольных треугольников , требуемое неравенство можно переписать так: $\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{8\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}\geq$$\frac{xyz}{\cos\left(\alpha/2\right)\cos\left(\beta/2\right)\cos\left(\gamma/2\right)}$ или $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq$$64xyz\sin\left(\alpha/2\right)\sin\left(\beta/2\right)\sin\left(\gamma/2\right)$

С другой стороны, пользуясь теоремой косинусов, получаем $\sin^2\left(\alpha/2\right)=$$\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)=$$\frac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{bc}=$$\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}.$

Аналогично, $$\sin^2\left(\beta/2\right)=\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)},$$ $$\sin^2\left(\beta/2\right)=\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)},$$ тогда $\sin\left(\alpha/2\right)\sin\left(\beta/2\right)\sin\left(\gamma/2\right)=$$\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}$ и неравенство имеет вид $${\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\geq8xyz,$$ для доказательства которого достаточно перемножить три очевидных неравенства:

  1. $x+y\geq2\sqrt{xy}.$
  2. $y+z\geq2\sqrt{yz}.$
  3. $x+z\geq\sqrt{xz}.$

Еще одно решение задачи можно получить, используя равенства:

  • $IA=\frac{r}{\sin\left(\alpha/2\right)}.$
  • $IB=\frac{r}{\sin\left(\beta/2\right)}.$
  • $IC=\frac{r}{\sin\left(\gamma/2\right)}.$

$$r=4R\sin\left(\alpha/2\right)\sin\left(\beta/2\right)\sin\left(\gamma/2\right).$$ Имеем: $R^2\geq4r^2,$ т. е. $R\geq2r.$

Это хорошо известное неравенство можно доказать чисто геометрически (например, опираясь на то, что радиус окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC, равный R/2, не меньше r).

Н. Васильев. В. Сендеров. А.Соловьев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *