Сторона и ориентация поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Край поверхности.

Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) точку M_{0} и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке M_{0}. Рассмотрим точку M, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке M_{0} в первоначальное положение при любом выборе точки M_{0} на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторонней. Поверхность может быть задана уравнением F\left ( x,y,z \right ) = 0, не разрешенным относительно ни одной из переменных (неявное задание). При этом поверхность представляет собой множество всех точек. Например, уравнение x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2} = 0 задает сферу радиуса R с центром в начале координат. Наконец, поверхность может быть задана параметрически: $$x = \varphi \left ( u,v \right ), y = \psi \left ( u,v \right ), z = \chi \left ( u,v \right ), \forall \left ( u,v \right )\in g,$$ где \psi ,\chi ,\varphi− непрерывные функции в области g. Переменные $u$ и $v$ называются параметрами.
На рисунке ниже изображен вектор нормали к поверхности $A$.
188

Определение

Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали называется стороной поверхности.

Дальше введем понятие ориентации поверхности. Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение

Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверхности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Определение

... показать

Список литературы

Небольшая викторина

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *