О подобии черных и белых точек в квадрате и круге

Задача из журнала «Квант» (2003)

Условие

Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в черный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества черных точек были подобны друг другу (возможно, с разными коэффициентами подобия)?

Ответ: можно

Иллюстрации к заданию

Решение

Рассмотрим такую раскраску квадрат (рис.1). Впишем круг в квадрат и раскрасим в черный цвет точки квадрата, лежащие вне круга. Впишем в полученный круг квадрат со сторонами, паралельными сторонам исходного квадрата. Раскрасим в белый цвет точки круга, лежащие вне «маленького» квадрата. По такому же правилу раскпасим маленький квадрат и т.д. Заметим, что мы считаем граничные точки лежащими «внутри» фигуры. Таким образом, граница каждого квадрата покрашена черным, за исключением четырех точек качания вписанного в квадрат круга, а граница каждого круга — белым, за исключением четырех вершин квадрата, вписанного в этот круг. Пусть сторона исходного квадрата равна a(рис.2), тогда сторона маленького квадрата равна $\frac{a}{\sqrt{2}}$. Следовательно, длины сторон квадратов стремятся к 0. Поэтому все точки, кроме центра будут раскрашены. Центр раскрасим в черный цвет.

Очевидно, что множество черных точек квадрата подобно множеству черных точек круга, вписанного в этот квадрат (второе получается из первого гомотетией с центром в центре квадрата и с коэффициентом $\frac{a}{\sqrt{2}}$). А множество белых точек квадрата совпадает с множеством белых точку вписанного в него круга.

 

Г.Гальперин

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *