М1733. Непрерывная функция

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 2 выпуск)

Условие

Непрерывная функция f(x) такова, что f = f^{-1} и f(0)=1. Докажите равенство:

$$\underset{0}{\overset{1}{\int}}|x-f(x)|dx = \frac{1}{2} $$

График функции y=f(x) симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла y=x(см.рисунок).
Значит,  S_1 = S_4 , а  S_2 = S_3 . Поэтому можно записать $$\underset{0}{\overset{1}{\int}}|x-f(x)|dx = \underset{0}{\overset{x_0}{\int}}(f(x)-x)dx + \underset{x_0}{\overset{1}{\int}}(x-f(x))dx = S_1 + S_3 = \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{2} $$

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *