Задача из журнала «Квант» (2000 год, 2 выпуск) M1724

Задача из Научно-популярного физико-математическом журнала «Квант». Она была опубликована в февральском выпуске 2000г. под номером М1724.

Условие задачи

В треугольнике  ABC проведены высоты  AD и  CE , пересекающиеся в точке  O (рис.1). Прямая  DE пересекает продолжение стороны  AC в точке  K.
Докажите, что медиана  BM треугольника  ABC перпендикулярна прямой  OK .

Решение

Докажем, что прямая  OM перпендикулярна на  KB (рис.1).
Отсюда непосредственно будет следовать утверждение задачи, поскольку в этом случае  O окажется ортоцентром треугольника  KBM (рис.2).

Пусть основание перпендикуляра, опущенного из точки  O на прямую  BK , служит точка  N (рис.3).

Поскольку точки  E и  N лежат на окружности с диаметром  OB , то угол  BND равен углу  BED . Аналогично, четырехугольник  AEDC вписан в окружность с диаметром  AC .
Поэтому угол  BED равен углу  ACB. Таким образом, сумма углов  KND и  ACB равна 180^\circ, т.е. четырехугольник  KNDC вписанный.
Значит, угол  NCK равен углу  NDK . Но угол  NDE равен углу  NBE в силу того, что точки B , D , E и  N , как мы уже отмечали, лежат на одной окружности с диаметром  OB . Поэтому равны углы  NBA и  NCA . Т.е. точка  N лежит на описанной окружности треугольника  ABC .
Нам осталось совсем немного. Продолжим прямую  NO до пересечения с описанной окружностью треугольника  ABC в точке  P (рис.4).

Так как угол  BNP прямой, то  BP — диаметр этой окружности. Значит, углы  BAP и  BCP прямые. Поэтому отрезок  AP параллелен  CE , а  PC параллелен  AD . Но отсюда  APCO — параллелограмм, и прямая  NO делит  AC пополам, что и требовалось доказать.
М. Волкевич

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *