М1730. Выпуклый четырехугольник

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 6 выпуск)

Условие задачи

Продолжения противоположных сторон произвольного выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках M и K  $(рис.1)$. Через точку O пересечения его диагоналей проводится прямая, параллельная MK. Докажите, что отрезок этой прямой, заключенный внутри четырехугольника, делится точкой  O пополам.

Решение

Проведем  через точку D прямую l (сделайте чертеж самостоятельно), параллельную KM; пусть  E и F — точки пересечения l с прямыми BC и BA соответственно.  Пусть для определенности прямая, проходящая через O параллельно KM и l пересекает стороны AB и CD четырехугольника. В этом случае для решения задачи надо доказать, что точка O лежит на медиане KL треугольника DKF. Мы докажем, что O — точка пересечения медиан KL и MN треугольников DKF и DME соответственно. Обозначим точку пересечения медиан KL и MN через X.

Докажем вначале, что X лежит на BD, т. е. что прямые DX и BD совпадают. Для этого докажем, что они делят отрезок KM в одном и том же соотношении.

Пусть  Y — точка пересечения DX и KM. Имеем \frac {\displaystyle KY}{ \displaystyle LD} = \frac{\displaystyle XY}{\displaystyle DX} (поскольку треугольники XYK и XDL подобны), \frac{ \displaystyle MY}{\displaystyle DN}\ = \frac{\displaystyle XY}{\displaystyle DX}\. Поэтому \frac{\displaystyle KY}{\displaystyle MY}\ = \frac{\displaystyle LD}{\displaystyle DN}\. Аналогично доказывается, что BD делит KM в отношении \frac{\displaystyle FD}{\displaystyle DE}\. Но FD = 2LD, DE = 2DN.

Осталось доказать, что X лежит на отрезке AC. Другими словами, что KL и MN делят отрезок AC в одном и том же отношении.

Лемма 1.
\frac{\displaystyle VS}{\displaystyle BV}\ = \frac{\displaystyle AS}{\displaystyle AC}\, где S — точка на стороне AC треугольника ABC, V — точка пересечения прямой BS с медианой AN этого треугольника.

Рассмотрим точку T отрезка BC такую, что ST || AN. Из теоремы Фалеса следует, что \frac{\displaystyle VS}{\displaystyle BV}\ = \frac{\displaystyle NT}{\displaystyle BN}\ = \frac{\displaystyle NT}{\displaystyle NC}\ = \frac{\displaystyle AS}{\displaystyle AC}\ .

Лемма 2.
\frac{\displaystyle VS}{\displaystyle UV} = \left(\frac{\displaystyle AS}{\displaystyle AU}\right) \cdot \left (\frac{\displaystyle AB}{\displaystyle AC} \right ), где U и S — точки на сторонах AB и AC треугольника ABC соответственно, а V — точка пересечения прямой US с медианой AN этого треугольника.

На стороне AC возьмем точку Z такую, что UZ || BC.  По лемме 1 имеем \frac{\displaystyle VS}{\displaystyle UV}\ = \frac{\displaystyle AS}{\displaystyle AZ}\, а по теореме Фалеса \frac{\displaystyle AC}{\displaystyle AB}\ = \frac{\displaystyle AZ}{\displaystyle AU}\. Осталось перемножить эти равенства.

Доказанные утверждения позволяют завершить решение задачи. Именно, по лемме 2 медиана KL делит отрезок AC (считая от C)  в отношении m = \left(\frac{\displaystyle CK}{\displaystyle KD}\right) \cdot \left (\frac{\displaystyle KF}{\displaystyle AK} \right ), а медиана MN — в отношении n = \left(\frac{\displaystyle MC}{\displaystyle ME}\right) \cdot \left (\frac{\displaystyle MD}{\displaystyle MA} \right ). Но \frac{\displaystyle MC}{\displaystyle ME}\ = \frac{\displaystyle KC}{\displaystyle KD}\\frac{\displaystyle KF}{\displaystyle AK}\ = \frac{\displaystyle MD}{\displaystyle MA}\. Следовательно, m = n.
Утверждение задачи доказано.

Замечание. Вот ещё одно, более естественное, хотя и несколько более сложное, доказательство леммы 2.

Проведем через V параллельные AS и AU прямые $(рис. 2)$.

Имеем: \frac{\displaystyle x}{\displaystyle y} = \frac{\displaystyle AC}{\displaystyle AB} (это характеристическое свойство точек медианы!). Теорема Фалеса дает: \frac{\displaystyle VS}{\displaystyle y} = \frac{\displaystyle US}{\displaystyle AU}\frac{\displaystyle x}{\displaystyle UV} = \frac{\displaystyle AS}{\displaystyle US}. Перемножая эти два равенства, получаем
\frac{\displaystyle VS}{\displaystyle UV} = \left(\frac{\displaystyle AS}{\displaystyle AU}\right) \cdot \left (\frac{\displaystyle y}{\displaystyle x} \right ) = \left (\frac{\displaystyle AS}{\displaystyle AU} \right ) \cdot \left (\frac{\displaystyle AB}{\displaystyle AC} \right ).
Лемма доказана.

М. Волкевич, В. Сендеров

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *