М1770. Игра с многочленом

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 5 выпуск)

Условие

Дан многочлен степени 10 с буквенными коэффициентами. Двое поочередно заменяют какую-нибудь букву на число, пока не заменят все буквы. Обозначим полученный многочлен A(x). Пусть a_{1} = \max A(x) при x от -1 до 0, a_{2} = \max A(x) при x от 0 до +1. Если a_1 > a_2, то выиграл первый игрок, если a_1 < a_2, то второй. Кто победит при правильной игре?

Решение

Результат игры в основном определяется тем, кто выберет последний коэффициент при нечетной степени. Это будет первый игрок, который может гарантировать свой не проигрыш. Говорить о выигрыше пока рано: может быть, за счет выбора коэффициентов при четных степенях второму игроку удастся добиться, чтобы \max A(x) при x от -1 до +1 был бы при x = 0 (a_{1} = a_{2} – ничья). Однако если первый игрок сразу выберет коэффициент при первой степени равным единице, то он гарантирует, что максимума в нуле нет, так как производная не равна нулю. Затем правильным назначением последнего коэффициента при нечетной степени (это будет достаточно большое по модулю число) первый игрок решительно склонит «чашу весов» в свою сторону. Он обеспечит себе победу независимо от возможных последующих назначений коэффициентов при четных степенях.

Н.Васильев, Б.Гинзбург

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *