М1770. Игра с многочленом

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 5 выпуск)

Условие

Дан многочлен степени [latex]10[/latex] с буквенными коэффициентами. Двое поочередно заменяют какую-нибудь букву на число, пока не заменят все буквы. Обозначим полученный многочлен [latex]A(x)[/latex]. Пусть [latex]a_{1} = \max A(x)[/latex] при [latex]x[/latex] от [latex]-1[/latex] до [latex]0[/latex], [latex]a_{2} = \max A(x)[/latex] при [latex]x[/latex] от [latex]0[/latex] до [latex]+1[/latex]. Если [latex]a_1 > a_2[/latex], то выиграл первый игрок, если [latex]a_1 < a_2[/latex], то второй. Кто победит при правильной игре?

Решение

Результат игры в основном определяется тем, кто выберет последний коэффициент при нечетной степени. Это будет первый игрок, который может гарантировать свой не проигрыш. Говорить о выигрыше пока рано: может быть, за счет выбора коэффициентов при четных степенях второму игроку удастся добиться, чтобы [latex]\max A(x)[/latex] при [latex]x[/latex] от [latex]-1[/latex] до [latex]+1[/latex] был бы при [latex]x = 0[/latex] ([latex]a_{1} = a_{2}[/latex] – ничья). Однако если первый игрок сразу выберет коэффициент при первой степени равным единице, то он гарантирует, что максимума в нуле нет, так как производная не равна нулю. Затем правильным назначением последнего коэффициента при нечетной степени (это будет достаточно большое по модулю число) первый игрок решительно склонит «чашу весов» в свою сторону. Он обеспечит себе победу независимо от возможных последующих назначений коэффициентов при четных степенях.

Н.Васильев, Б.Гинзбург

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *