6.1 Определение и простейшие свойства неопределенного интеграла

Пусть функция $f$ дифференцируема в некоторой точке $x$. Тогда, согласно определению дифференцируемости и свойствам производной, справедливо равенство $$f\left(x + \Delta x\right) − f \left(x\right) = f’\left(x\right) \Delta x + \overline{o}\left(\Delta x\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left(\Delta x \to 0\right).$$ Левая часть этого равенства называется приращением функции $f$ в точке $x,$ соответствующим приращению $\Delta x$ независимой переменной в точке $x,$ и обозначается $\Delta f \equiv \Delta f \left(x\right) = f \left(x + \Delta x\right) − f \left(x\right).$ Таким образом, приращение $\Delta f \left(x\right)$ дифференцируемой в точке $x$ функции $f$ состоит из двух слагаемых: $f’\left(x\right) \Delta x $ и $\overline{o}\left(\Delta x\right)$ При этом главную часть этого приращения составляет первое слагаемое (за исключением случая, когда $f’\left(x\right)=0$).
Итак, мы приходим к следующему определению.

Определение. Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $x.$ Линейная функция $dy=f’\left(x\right)dx$ переменной $dx$ называется дифференциалом функции $f$ в точке $x$ и обозначается
$$df=f’\left(x\right)dx.$$ Если в определении дифференциала переменную $x$ считать зависимой от другой переменной $x = x(t)$, то для функции $g(t)=f(x(t))$ будем иметь

$$df\left(t\right)=df\left(x\left(t\right)\right)=dg\left(t\right)=g’\left(t\right)dt=f’\left(x\left(t\right)\right)x’\left(t\right)dt=f’\left(x\right)dx.$$ Получили, что форма дифференциала функции не зависит от того, является ли переменная $x$ зависимой, или независимой. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала. Свойства дифференциала определяются свойствами производных и правилами дифференцирования. Например,
$$d\left(uv\right)=\left(u’\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v’\left(x\right)\right)dx=u\left(x\right)dv\left(x\right)+v\left(x\right)du\left(x\right),$$
или, короче,
$$d\left(uv\right)=udv+vdu.$$
Аналогично имеем
$$d\left(\frac{u}v\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}.$$
В дальнейшем при изучении функций многих переменных мы остановимся на понятии дифференциала более подробно. Напомним, что функция $f$ называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Определение. Пусть функция $f$ определена на интервале $I$. Если существует функция $F$, дифференцируемая на интервале $I$ и такая, что $F’\left(x\right)=f\left(x\right)$ для всех $x \in I$, то функция $F$ называется первообразной (или примитивной) для функции $f$ на этом интервале. Например, $$f\left(x\right)=2xe^{x^2}, F\left(x\right)=e^{x^2}\,\,\,\,\left(-\infty<x<+\infty\right).$$
Если для функции $f$ существует одна первообразная, то существует бесконечно много первообразных. Действительно, каждая функция вида $F(x)+C,$ где $C$ — постоянная, также является первообразной, поскольку

$$\left(F\left(x\right)+C\right)’=F’\left(x\right)=f\left(x\right).$$
Ниже будет доказана следующая.

Теорема. Каждая непрерывная на интервале функция имеет первообразную на этом интервале.

Пример. Пусть $f\left(x\right)=|x|,\,\, x \in \left(-\infty,+\infty\right).$ Тогда $F\left(x\right)=\frac{x^2}2$ при $x>0$ и $F\left(x\right)=-\frac{x^2}2$ при $x<0.$ Легко проверить, что для функции $F\left(x\right)=-\frac{x^2}2 sign\, x\,\,\,\,\left(-\infty<x<\infty\right)$ справедливо также равенство $F’\left(0\right)=0=|0|=f\left(0\right),$ так что $F$ — первообразная для $f.$

Теорема. Если функция $f$ имеет первообразную на интервале $I,$ то разность двух любых ее первообразных тождественно постоянна на этом интервале.

Пусть $F_1,F_2$ — две первообразные для функции $f.$ Тогда ${F’}_1\left(x\right)=f\left(x\right)$ и ${F’}_2\left(x\right)=f\left(x\right)$ для всех $x \in I$ справедливо равенство $\left(F_1-F_2\right)’\left(x\right)=0.$ Поэтому, в силу следствия из теоремы Лагранжа, разность $F_1 − F_2$ – тождественно постоянная функция, что и требовалось доказать.

Следствие. Bсе первообразные можно описать равенством $F\left(x\right)+C$, где $F\left(x\right)$ — одна из первообразных.

Определение. Совокупность всех первообразных функции $f$ называется неопределенным интегралом от функции $f$ и обозначается $\int f\left(x\right)dx$. При этом сама функция $f\left(x\right)$ называется подынтегральной функцией, а $f\left(x\right)dx$ называется подынтегральным выражением. Как было сказано выше, если $F\left(x\right)$ – одна из первообразных функции $f\left(x\right),$ то справедливо следующее равенство:

$$\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C,$$
где $C$ – постоянная.
Операция нахождения первообразных называется интегрированием. Отметим, что определение первообразной не является конструктивным, как, например, определение производной. Действительно, в определении производной дается правило ее вычисления, а в определении первообразной – только свойство, которым она должна обладать. Такое определение называется дескриптивным.

Простейшие свойства неопределенного интеграла

1. Если функция $F$ дифференцируема на интервале $I,$ то
$$\int F’\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C.$$
Это сразу следует из определения первообразной.

2. Если $\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C $ и $\int g\left(x\right)dx = G\left(x\right) + C$, то $\int [f\left(x\right) + g\left(x\right)]dx= F\left(x\right) + G\left(x\right) + C,$ или, что то же самое,
$\int [f\left(x\right) + g\left(x\right)]dx =\int f\left(x\right)dx + \int g\left(x\right)dx$
Действительно, при наших предположениях имеет место равенство
$$\left(F\left(x\right) + G\left(x\right)\right)0 = F’\left(x\right) + G’\left(x\right) = f\left(x\right) + g\left(x\right).$$

3. Если $\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C,$ то для любого действительного числа $α \neq 0$ $\int [αf\left(x\right)]dx = αF\left(x\right) + C,$ или, что то же самое, $$\int [αf\left(x\right)]dx = α\int f\left(x\right)dx.$$
Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при $α = 0$ оно неверно по той причине, что в левой его части совокупность всех постоянных, а в правой – тождественный нуль.

4. Если $\int f\left(t\right)dt = F\left(t\right) + C,$ то для любого $a \neq 0$ и для любого $b$
$\int f\left(ax + b\right)dx = \frac{1}aF’\left(ax + b\right) + C.$
Действительно,
$\biggl[\frac{1}aF\left(ax+b\right)\biggr]’=\frac{1}aF’\left(ax+b\right)·a=f\left(ax+b\right).$

Формулы для нахождение простейших неопределенных интегралов

1.$\int adx=ax+C$

2.$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\,\, a\neq-1,\,\, x>0$

3.$\int \frac{dx}x=\ln|x|+C$

4.$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln|a|}+c$

5.$\int e^xdx=e^x+C$

6.$\int \sin xdx=-\cos x+C$

7.$\int \cos xdx=\sin x+C$

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

  1. $\int \left(x^2-4x\right)dx=$
    Решение

    $=\int x^2dx-\int 4xdx=\frac{x^3}3-\frac{4x^2}2+C=\frac{x^3}3-2x^2+C$

  2. $\int \left(\frac 1{\sqrt[3]{x^2}}\right)dx=$
    Решение

    $=\int x^{\frac{-2}{3}}dx=\frac{x^{\frac{1}3}}{\frac{1}3}=3\sqrt[3]{x}+C$

  3. $\int \cos\left(2x+3\right)dx=$
    Решение

    $=\frac{1}2\sin\left(2x+3\right)+C$

  4. $\int \left(3\sin x+\frac{10}x\right)dx=$
    Решение

    $=\int 3\sin xdx+\int \frac {10}xdx=-3\cos x+10 \ln|x|+C$

Неопределенный интеграл и его простейшие свойства

Данный тест поможет вам лучше разобраться с темой.

Литература

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *