Задача из журнала «Квант» (2001 год, 1 выпуск) M1740

Условие

Натуральные числа $а,$ $b$ и $с$ таковы, что

$$a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.$$

Докажите, что каждое из четырех чисел $ab,bc,ca$ и $ab+bc+ca$ является квадратом.

Решение

Можно записать:
$$a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ca,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$$
или иначе:
$$(a+b+c)^2=4(ab+bc+ca).$$
Значит, число $ab + bc + ca$ является квадратом. Равенство $(*)$ можно истолковать как квадратное уравнение относительно $с.$
Поэтому
$$c=(a+b)\pm \sqrt{ab}.$$
Значит, число $ab$ является квадратом. Точно так же убеждаемся, что числа $bc$ и $ca$ – тоже квадраты.

В.Произволов

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *