12.6 Частные производные высших порядков

Теорема Шварца: Пусть $f – $ действительная функция, определенная в некоторой окрестности $U$ точки $x_0$ и имеющая всюду в этой окрестности частные производные $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x^i}, \frac{\partial f}{\partial x^j} \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$. Если смешанная производная $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$ непрерывна в точке $x_0$, то в этой точке существует и другая смешанная производная $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}(x_0)$, и при этом справедливо равенство
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}\left(x_0\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}\left(x_0\right).$$

Достаточно доказать теорему для случая $n = 2$, поскольку в ней по существу идет речь только о функциях двух переменных при фиксированных всех остальных. Итак, предположим, что задана функция двух переменных $f\left(x,y\right)$ и существуют $f^{\prime}_x, f^{\prime}_y, f^{\prime\prime}_{xy}$. Нужно доказать, что существует $f^{\prime\prime}_{yx}\left(x_0,y_0\right)$ и она равна $f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)$.
Рассмотрим разностное отношение
$$Q(h) = \frac{f^{\prime}_y(x_0+h,y_0)\:-\:f^{\prime}_y(x_0,y_0)}{h}$$
Заметим, что при любом $x$
$$f^{\prime}_y\left(x,y_0\right)\: = \: \lim\limits_{\mu \to 0}\frac{f\left(x,y_0\:+\:\mu\right) \:-\:f\left(x,y_0\right)}{\mu}.$$
Обозначим
$$\varphi_{\mu}(x)\:\equiv\: \frac{f(x,y_0\:+\:\mu)\:-\:f(x,y_0)}{\mu},$$
$$Q^{\ast}(h,\mu)\:\equiv\: \frac{\varphi_{\mu}\left(x_0\:+\:h\right)\:-\: \varphi_{\mu}\left(x_0\right)}{h}.$$
Если $h$ фиксировано, то
$$\lim\limits_{\mu\to 0}Q^{\ast}(h,\mu) \:=\: Q(h).$$
Далее, пользуясь формулой конечных приращений, получаем
$$\frac{\varphi_{\mu}\left(x_0\:+\:h\right)\: -\: \varphi_{\mu}\left(x_0\right)}{h}\:=\: \frac{d \varphi_{\mu}}{dx \left(x_0\:+\:\theta_1 h\right)}\: = $$
$$=\: \frac{f^{\prime}_x\left(x_0\:+\: \theta_1 h,y_0\:+\: \mu\right)\:-\: f^{\prime}_x\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\right)}{\mu}.$$
Теперь воспользуемся формулой конечных приращений по $y$ и получим, что последнее отношение равно
$$\frac{d\varphi_{\mu}}{dx}\left(x_0\:+\: \theta_1h\right)\:=\:\frac{f^{\prime}_x\left(x_0\:+\:\theta_1h,y_0\:+\:\mu\right)\:-\: f^{\prime}_x\left(x_0 \:+\: \theta_1h,y_0\right)}{\mu}\: =$$
$$=\: f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\:+\: \theta_2\mu\right),$$
где $\theta_1,\theta_2\: –$ величины, зависящие от $h,\mu$ и заключены в интервале $\left(0,1\right).$
Итак, получили $$Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\:+\:\theta_2\mu\right).$$ Но поскольку $f^{\prime\prime}_{xy}$ непрерывна в точке $\left(x_0,y_0\right)$ по условию, то получаем
$$Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)\:+\:\varepsilon\left(h,\mu\right),$$
где $\varepsilon\left(h,\mu\right) \to 0$ при $\left(h,\mu\right) \to \left(0,0\right)$.
Зададим $\varepsilon > 0$ и найдем такое $\delta > 0$, что при $0 < |h| < \delta, \: 0 < |\mu| < \delta$ справедливо неравенство $|\varepsilon(h,\mu)| < \varepsilon$. Поэтому при указанных значениях $h,\mu$ имеет место неравенство
$$|Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:-\: f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)| < \varepsilon .$$
Теперь фиксируем $h, 0<|h|<\delta $,и $\mu$ устремляем к нулю. Тогда получим
$$|Q\left(h\right)\:-\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)| \leq \varepsilon.$$
Это означает, что $\lim\limits_{h\to 0}Q\left(h\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)$. Отсюда следует справедливость теоремы Шварца.

Теорема: Если $f\:–\:$функция класса $C^q$ на открытом множестве $E\subset \mathbb {R}^n$, то значение любой смешанной производной порядка $q\:$ не зависит от последовательности, в которой выполняется дифференцирование.