Задачи из журнала «Квант» № M2141

Условие :

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD ( точка D лежит на отрезке AC ). Прямая BD пересекает окружность \Omega , описанную около треугольника ABC, в точках B и E. Окружность \omega, построенная на отрезке DE как на диаметре, пересекает окружность \Omega в точках E и F. Докажите, что прямая, симметричная прямой BF относительно прямой BD, содержит медиану треугольника ABC.

Доказательство :

Пусть M - середина стороны AC (см. рисунок ). Так как дуги AE и CE равны, то ME - серединный перпендикуляр к отрезку AC. Поскольку \angle DME = 90^{\circ}, то M лежит на окружности \omega. Пусть прямая DF пересекает вторично окружность \Omega в точке G. Так как \angle DFE = 90^{\circ}, то G - точка, диаметрально противоположная точке E, в частности EG проходит через M.
Имеем \angle FBE =\angle FGE .
Далее, поскольку EG - диаметр, \angle GBE = 90^{\circ}. Из равенств \angle GBD = \angle GMD = 90^{\circ} вытекает, что GBDM - вписанный четырехугольник ( в отружность с диаметром DG ), откуда \angle MBE = \angle MBD = \angle MGD = \angle EGF. Окончательно, \angle FBE = \angle FGE = \angle MBE , что и требовалось установить.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *