Условие
В треугольнике проведена биссектриса
точка
лежит на отрезке
. Прямая
пересекает окружность
, описанную около треугольника
, в точках
и
. Окружность
, построенная на отрезке
как на диаметре, пересекает окружность
в точках
и
. Докажите, что прямая, симметричная прямой
относительно прямой
, содержит медиану треугольника
.
Доказательство
Пусть середина стороны
см. рисунок
. Так как дуги
и
равны, то
серединный перпендикуляр к отрезку
. Поскольку
, то
лежит на окружности
. Пусть прямая
пересекает вторично окружность
в точке
. Так как
, то
точка, диаметрально противоположная точке
, в частности
проходит через
.
Имеем .
Далее, поскольку диаметр,
. Из равенств
вытекает, что
вписанный четырехугольник
в отружность с диаметром
, откуда
. Окончательно,
, что и требовалось установить.