Задачи из журнала «Квант» № M2141

Условие

В треугольнике [latex]ABC[/latex] проведена биссектриса [latex]BD ([/latex] точка [latex]D[/latex] лежит на отрезке[latex] AC )[/latex]. Прямая [latex]BD[/latex] пересекает окружность [latex]\Omega[/latex] , описанную около треугольника [latex]ABC[/latex], в точках [latex]B[/latex] и [latex]E[/latex]. Окружность [latex]\omega[/latex], построенная на отрезке [latex]DE[/latex] как на диаметре, пересекает окружность [latex]\Omega[/latex] в точках [latex]E[/latex] и [latex]F[/latex]. Докажите, что прямая, симметричная прямой [latex]BF[/latex] относительно прямой [latex]BD[/latex], содержит медиану треугольника [latex]ABC[/latex].

Доказательство

Пусть [latex]M — [/latex]середина стороны [latex]AC ([/latex]см. рисунок [latex])[/latex]. Так как дуги [latex]AE[/latex] и [latex]CE[/latex] равны, то [latex]ME — [/latex] серединный перпендикуляр к отрезку [latex]AC[/latex]. Поскольку [latex]\angle DME = 90^{\circ}[/latex], то [latex]M[/latex] лежит на окружности [latex]\omega[/latex]. Пусть прямая [latex]DF[/latex] пересекает вторично окружность [latex]\Omega[/latex] в точке [latex]G[/latex]. Так как [latex]\angle DFE = 90^{\circ}[/latex], то [latex]G — [/latex] точка, диаметрально противоположная точке [latex]E[/latex], в частности [latex]EG[/latex] проходит через [latex]M[/latex].
Имеем [latex]\angle FBE =\angle FGE [/latex].
Далее, поскольку [latex]EG — [/latex] диаметр, [latex]\angle GBE = 90^{\circ}[/latex]. Из равенств [latex]\angle GBD = \angle GMD = 90^{\circ}[/latex] вытекает, что [latex]GBDM — [/latex] вписанный четырехугольник [latex]([/latex] в отружность с диаметром [latex]DG )[/latex], откуда [latex]\angle MBE = \angle MBD = \angle MGD = \angle EGF[/latex]. Окончательно, [latex]\angle FBE = \angle FGE = \angle MBE [/latex], что и требовалось установить.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *