5.3 Производная сложной и обратной функций

Теорема (о производной композиции). Пусть функция $f$ определена на интервале $I$ и дифференцируема в точке $x_0 ∈ I$, а функция $g$ определена на интервале $J ⊃ f(I)$ и дифференцируема в соответствующей точке $y_0 = f (x_0) ∈ J$. Тогда сложная функция $\varphi(x) = g(f(x))$ дифференцируема в точке $x_0$, причем $$\varphi'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)$$

Так как функция $g$ дифференцируема в точке $y_0$,
то $$g(y)-g(y_0) = g'(y_0)\cdot (y-y_0)+r(y)\cdot (y-y_0),\quad\quad(5.1)$$ где $\displaystyle \lim_{y\to y_0}\, r(y)=0$. Доопределим функцию $r$ в точке $y_0$ по непрерывности, положив $r (y_0) = 0$. В равенстве (5.1) считаем, что $y = f(x)$. Тогда получим $$\varphi(x)-\varphi(x_0) = g'(y_0)(f(x)-f(x_0)) + r(f(x))(f(x)-f(x_0)).$$ Разделив это равенство на $x−x_0$ и устремив $x \to x_0$, получаем $$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\, \frac{\varphi(x)-\varphi(x_0)}{x-x_0}=$$ $$=g'(f(x_0)) \displaystyle \lim_{x\to x_0} \, \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\displaystyle \lim_{x\to x_0} \, r(f(x))\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ Последний предел справа равен нулю, поскольку $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\, r(f(x))=0$ (по теореме о непрерывности сложной функции) и $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\, \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$. Итак, получили, что $\varphi'(x_0) = g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)$.

Теорема (о производной обратной функции). Пусть функция $f$ строго возрастает на интервале $I$, непрерывна на $I$, дифференцируема в точке $x_0 \in I$ и $f'(x_0)\neq 0$. Тогда обратная функция $g = f^{-1}$ дифференцируема в точке $y_0 = f(x_0)$, причём $g'(x_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$.

Рассмотрим разностное отношение $\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}$. Обозначим $x=g(y)$. Тогда $y=f(x)$ и $$\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}=\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}.$$ Поскольку функция $g$ непрерывна (в силу теоремы о непрерывности обратной функции), то при $y\to y_0$ имеем $x=g(y)\to g(y_0) = x_0$, и поэтому $$\displaystyle \lim_{y\to y_0}\,\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{\displaystyle \lim_{x\to x_0}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\frac{1}{f'(x_0)},$$ т. е. существует предел левой части и он равен $\frac{1}{f'(x_0)}$.