М1574. Задача о связи радиусов описанных окружностей соответствующих треугольников шестиугольника и его полупериметра

Задача из журнала «Квант» (1996 год, 6 выпуск)

Условие

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF AB||ED, BC||FE, CD||AF. Пусть R_A, R_C, R_E — радиусы окружностей, описанных около треугольников соответственно, а p — полупериметр шестиугольника. Докажите, что:
$$R_A+R_C+R_E\geq p$$

Иллюстрация к задаче

hexagon

Решение

Первое решение

Пусть длины сторон AB, BC, CD, DE, EF и FA равны a, b, c, d, e и f соответственно. Построим AP\perp BC, AS\perp EF, DQ\perp BC и DR\perp EF. Тогда PQRS — прямоугольник и BF\geq PS=QR. Следовательно, 2BF\geq PS+QR и тогда 2BF\geq (a\sin B+f\sin C)+(c\sin C+d\sin B) (мы воспользовались тем, что \angle A=\angle D, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F).

Аналогично,
$$2DB\geq (c\sin A+b\sin B)+(e\sin B+f\sin A),$$
$$2FD\geq (e\sin C+d\sin A)+(a\sin A+b\sin C).$$

Запишем выражение для R_A, R_C, R_E:
$R_A=\frac{BF}{2\sin A}$, $R_C=\frac{DB}{2\sin C}$ и $R_A=\frac{FD}{2\sin B}$.

Таким образом,
$$4(R_A+R_C+R_E)\geq$$ $$\geq a(\frac{\sin B}{\sin A}+\frac{\sin A}{\sin B})+b(\frac{\sin B}{\sin C}+\frac{\sin C}{\sin B})+…\geq$$ $$\geq 2(a+b+…)=4p$$
следовательно, R_A+R_C+R_E\geq p. Равенство достигается тогда и только тогда, когда \angle A=\angle B=\angle C и BF\perp BC, то есть в случае правильного шестиугольника.

Н. Седракян

Второе решение

Рассматриваемый шестиугольник ABCDEF можно получить и некоего треугольника KLM, проведя прямые, параллельные сторонам этого треугольника.

Пусть KL=m, LM=k, MK=l, \angle LKM=\delta, высота к стороне LM равна h, коэффициенты подобия (гомотетин) треугольников KCB, DLE и AFM по отношению к треугольнику KLM равны соответственно x, y, z. Понятно, что
$x+y\leq 1$, $y+z\leq 1$, $x+z\leq 1$ $(*)$
(мы допускаем ниже и случаи равенства). Если R — радиус окружности, описанной около треугольника ABF,
$$R=\frac{BF}{2\sin\delta}\geq\frac{h(1-x)}{2\sin\delta}=\frac{S_KLM(1-x)}{2k\sin\delta}=\frac{lm}{k}(1-x).$$

Оценивая аналогично другие радиусы и выражая стороны шестиугольника через k, l, m, x, y, z, получим, что нам достаточно доказать неравенство
$$\frac{lm}{k}(1-x)+\frac{mk}{l}(1-y)+\frac{kl}{m}(1-z)\geq$$ $$\geq k(1+x-y-z)+l(1+z-x-y)+$$ $$+m(1+y-z-x).$$ $(**)$

Это неравенство линейно относительно . Но переменные неотрицательны и удовлетворяют еще условию $(*)$ (на самом деле они больше нуля и неравенства $(*)$ строгие, но мы несколько расширяем область их изменения). Областью изменения их является многогранник в координатном пространстве (x; y; z) с вершинами (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1), (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}). Достаточно проверить, что неравенство $(**)$ выполняется в этих вершинах. Например, при x=y=z=\frac{1}{2} и при x=y=z=0 получаем неравенство
$$\frac{lm}{k}+\frac{mk}{l}+\frac{kl}{m}\geq k+l+m;$$
оно легко доказывается сложением очевидных неравенств
$\frac{kl}{m}+\frac{mk}{l}\geq 2k$, $\frac{kl}{m}+\frac{lm}{k}\geq 2l$, $\frac{lm}{k}+\frac{mk}{l}\geq 2m$.
Для остальных трех вершин неравенство $(**)$ очевидно.

И. Шарыгин

Замечание

Для центрально-симметричных шестиугольников эта задача эквивалентна замечательному неравенству Эрдеша-Морделла: для любой точки M внутри треугольника сумма расстояний от M до вершин по крайней мере вдвое больше суммы расстояний от M до сторон (опустите перпендикуляры MB, MD, MF на стороны и постройте параллелограммы BMFA, DMBC, FMDE; радиусы описанных окружностей треугольников BMF, DMB, FMD равны R_A, R_C, R_E в условии и равны расстояниям от точки M до вершин треугольника).

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Перед прочтением данной статьи желательно ознакомиться с темой Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл

Вычисление криволинейных интегралов II рода

Если $\Gamma$ — кусочно гладкая кривая заданная уравнением $r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$, а функции ${\varphi }_{i}$ $(i=1,…,n)$ непрерывные вдоль кривой $\Gamma$, то существует криволинейный интеграл II рода $\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)$ и справедливо равенство:
$$\int\limits_{\Gamma}(F,\,dr)=$$ $$=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sum\limits_{i=1}^{n}{\varphi}_{i}({x}_{1}(t),\ldots,{x}_{n}(t)){x’}_{i}(t)\,dt.$$

Примеры

  1. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)$, где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$, которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\sin t(-\sin t)-\cos t\cdot \cos t\right]\,dt=$$ $$=-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=$$ $$=-\left( \frac{\pi}{2}-0 \right)=-\frac{\pi}{2}.$$

  2. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(ydx-xdy)$, где $\Gamma$ — отрезок, который начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=1-t, y=t$ $(0\leq t\leq1)$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}\left(y\,dx-x\,dy\right)=$$ $$=\int\limits_{0}^{1}[t(-1)-(1-t)\cdot 1]\,dt=$$ $$=-\int\limits_{0}^{1}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-(1-0)=-1.$$

  3. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)$, где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$, которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\sin t(-\sin t)+\cos t\cdot \cos t]\,dt=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[{cos}^{2}t-{sin}^{2}t]\,dt =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2t\,dt=$$ $$=\frac{\sin 2t}{2} \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\sin \pi}{2}-\frac{\sin 0}{2}=0.$$

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Чтобы убедиться в том что вы усвоили данный материал советую пройти этот тест.


Таблица лучших: Вычисление криволинейных интегралов второго рода

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл

Пусть в область $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ задано векторное поле, то есть каждой точке из $\Omega$ поставлен в соответствии вектор из ${\mathbb{R}}^{n}$. Это можно записать следующим образом,

$$F(x)=({\varphi}_{1}({x}_{1},…,{x}_{n}),…, {\varphi}_{n}({x}_{1},…,{x}_{n})),$$
где $F$ — векторное поле и $F(x)\in {\mathbb{R}}^{n}$.

Если функции ${\varphi }_{i}$ $(i=1,…,n)$ непрерывные и непрерывно дифференцируемы в области, то поле $F$ также непрерывно и непрерывно дифференцировано в области $\Omega$.

Определение

Если в области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ задано непрерывное векторное поле $F=({\varphi}_{1},…,{\varphi}_{n})$, а $r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$ — уравнение кусочно гладкой кривой $\Gamma$, которая лежит в области $\Omega$, то интеграл:

$$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)), r^\prime(t))\,dt\equiv$$ $$\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}(({\varphi}_{1}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)),…,{\varphi}_{n}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t))), r^\prime(t))\,dt\equiv$$ $$\equiv\int\limits_{\alpha}^{\beta}[{\varphi}_{1}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)){x^\prime}_{1}(t)+…+{\varphi}_{n}({x}_{1}(t),…,{x}_{n}(t)){x^\prime}_{n}(t)]\,dt.$$

называется криволинейным интегралом II рода от векторного поля $F$ вдоль кривой $\Gamma$.

Рассмотрим также частный случай когда $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$. В этом случае можно обозначить $F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$, где $\Gamma: r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $(\alpha \leq t\leq \beta)$. Тогда интеграл имеет следующий вид:
$$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr) =\int\limits_{\Gamma}^{}P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz=$$ $$=\int\limits_{\alpha}^{\beta}[P(x(t),y(t),z(t))x^\prime(t) +Q(x(t),y(t),z(t))y^\prime(t)+$$ $$+R(x(t),y(t),z(t))z^\prime(t)]\,dt.$$

Свойства криволинейных интегралов II рода:

Рассматривать свойства будем для области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$, так как для $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{n}$ $(n\geq 3)$ изменения очевидны.

  1. Криволинейный интеграл II рода не зависит от способа параметризации кривой

    Доказательство показать

    Замечание.

    Это доказательство имеет место только в том случае, когда $r=r(t)$ и $\rho=\rho(\tau)$ определяют одну и ту же кривую $\Gamma$ и имеют одну и ту же ориентацию.

  2. Криволинейный интеграл II рода при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=-\int\limits_{{\Gamma}^{-}}^{}(F,\,dr).$$


    Доказательство показать

  3. Криволинейный интеграл II рода аддитивен относительно кривой

    Если $\Gamma=({\Gamma}_{1},…,{\Gamma}_{N})$, то:

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)=\sum_{i=1}^{N}\int\limits_{{\Gamma}_{i}}^{}(F,\,dr).$$

    Доказательство

    Следует из определения и свойства аддитивности определенного интеграла относительно области интегрирования

Физический смысл

Работа силы

Пусть $F(x,y,z)$ — силовое поле в области $\Omega\subset {\mathbb{R}}^{3}$ и пусть кусочно гладкая кривая ${\Gamma}_{AB}\subset\Omega$ задана уравнением $r=r(t)$, $\alpha\leq t\leq\beta$. Если интерпретировать это уравнение, как закон движения материальной точки, то при таком движении сила, действующая на материальную точку, должна совершать работу. В том случае когда материальная точка движется в постоянном силовом поле с постоянной скоростью по прямой, параллельной вектору $l$, $|l|=1$, работа силы равна $(F,l)\Delta s$, где $\Delta s$ — пройденный путь.

curve3

Изображение вектора силы в случае движения точки по произвольной кусочно гладкой кривой

Теперь рассмотрим случай, когда поле силы непостоянно и точка движется в силовом поле по произвольной кусочно гладкой кривой ${\Gamma}_{AB}\subset\Omega:r=r(t)$, $(\alpha\leq t\leq\beta)$. Пусть $T$ — произвольное разбиение отрезка $[\alpha,\beta]$ точками $\alpha={t}_{0}<{t}_{1}<…<{t}_{n}=\beta$ и ему соответствует разбиение кривой ${\Gamma}_{AB}$ точками $A={A}_{0}\prec{A}_{1}\prec…\prec{A}_{n}=B$.

При движении по дуге ${\Gamma}_{{A}_{i-1}{A}_{i}}$ заменим силу $F$ постоянной силой $F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i}))$, а само движение по этой дуге заменим движением по касательной с постоянной скоростью $r^\prime({t}_{i})$. Тогда работа силы приближенно равна $(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i})\Delta{t}_{i})$.

Работа силы при движении материальной точки по кривой ${\Gamma}_{AB}$ приближенно равна следующей сумме:

$${\mathcal{A}}_{T}=\sum_{i=1}^{n}(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i}))\Delta{t}_{i},$$

где $\Delta{t}_{i}={t}_{i}-{t}_{i-1}$.

Предел суммы ${\mathcal{A}}_{T}$ при мелкости разбиения $l(T)$, стремящейся к нулю, естественно назвать работой силы $F$ при движении точки по кривой ${\Gamma}_{AB}$. Таким образом, работа силы:

$$\mathcal{A}=\lim_{l(T)\to 0}\sum_{i=1}^{n}(F(x({t}_{i}),y({t}_{i}),z({t}_{i})),r^\prime({t}_{i}))\Delta{t}_{i}=$$ $$=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(F(x(t),y(t),z(t)),r^\prime(t))\,dt=\int\limits_{{\Gamma}_{AB}}^{}(F,\,dr).$$

Криволинейные интегралы второго рода

Чтобы убедиться в том что вы усвоили данный материал советую пройти этот тест.


Таблица лучших: Криволинейные интегралы второго рода

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных