М1304. Задача о связи вписанной и описанной окружностей в треугольнике

Задача из журнала «Квант» (1991)

Условие

Пусть I — центр вписанной окружности в треугольнике ABC, R — радиус описанной окружности. Докажите, что $${R}^{3}\geq IA\cdot IB\cdot IC.$$

Иллюстрация к задаче

kvant (2)

Решение

Пусть \alpha, \beta, \gamma — углы треугольника, x, y, z — отрезки, на которые точки касания с вписанной окружностью разбивают его стороны. Поскольку радиус R равен половине отношения стороны к синусу к синусу противоположного угла (теорема синусов), а отрезки IA, IB, IC выражаются через x, y, z и углы из прямоугольных треугольников , требуемое неравенство можно переписать так: $\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{8\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}\geq$$\frac{xyz}{\cos\left(\alpha/2\right)\cos\left(\beta/2\right)\cos\left(\gamma/2\right)}$ или $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq$$64xyz\sin\left(\alpha/2\right)\sin\left(\beta/2\right)\sin\left(\gamma/2\right)$

С другой стороны, пользуясь теоремой косинусов, получаем $\sin^2\left(\alpha/2\right)=$$\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)=$$\frac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{bc}=$$\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}.$

Аналогично, $$\sin^2\left(\beta/2\right)=\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)},$$ $$\sin^2\left(\beta/2\right)=\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)},$$ тогда $\sin\left(\alpha/2\right)\sin\left(\beta/2\right)\sin\left(\gamma/2\right)=$$\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}$ и неравенство имеет вид $${\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\geq8xyz,$$ для доказательства которого достаточно перемножить три очевидных неравенства:

  1. $x+y\geq2\sqrt{xy}.$
  2. $y+z\geq2\sqrt{yz}.$
  3. $x+z\geq\sqrt{xz}.$

Еще одно решение задачи можно получить, используя равенства:

  • $IA=\frac{r}{\sin\left(\alpha/2\right)}.$
  • $IB=\frac{r}{\sin\left(\beta/2\right)}.$
  • $IC=\frac{r}{\sin\left(\gamma/2\right)}.$

$$r=4R\sin\left(\alpha/2\right)\sin\left(\beta/2\right)\sin\left(\gamma/2\right).$$ Имеем: $R^2\geq4r^2,$ т. е. $R\geq2r.$

Это хорошо известное неравенство можно доказать чисто геометрически (например, опираясь на то, что радиус окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC, равный R/2, не меньше r).

Н. Васильев. В. Сендеров. А.Соловьев

Понятие радиуса сходимости. Существование радиуса сходимости

Определение

Пусть задан ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}.$$ Если существует такое неотрицательное число $R$ (конечное или равное $+\infty$ ), что $\forall z:\left | z \right |<R$ ряд сходится, а для $\forall z:\left | z \right |>R$ ряд расходится, то $R$ называют радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание показать

Теорема о существовании радиуса сходимости

Для всякого степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ существует $R$ ($R\geq0$ — число или $+\infty$) такое, что:

  1. Если $R=+\infty$, то ряд сходится во всей комплексной плоскости.
  2. Если $R=0$, то данный ряд сходится в одной точке z=0.
  3. Если $R\neq0$ и $R\neq+\infty$, то ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ абсолютно сходится в круге $K=\left\{z:\left |z \right |< \left | z_{0} \right | \right\}$ и расходится вне замыкания круга $K$.

Доказательство

Пусть $D$ — множество всех точек сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$. Данное множество не является пустым, так как обязательно содержит точку $z=0$.

  1. Рассмотрим ситуацию, когда множество $D$ не ограничено. Пусть точка $z_{1}$ — произвольная точка комплексной плоскости. Тогда возьмем такое $z_{0} \in D$, что $\left|z_{1} \right|<\left|z_{0} \right|$ (существование такой точки $z_{0}$ следует из неограниченности множества $D$). Следовательно, $z_{1} \in D$. Таким образом, всякая точка комплексной плоскости принадлежит области сходимости. Обозначают: $R=+\infty$.
  2. Если $D$ ограничено и содержит только одну точку $z=0$, то ряд сходится только в точке $z=0$ и расходится в любой дугой точке комплексной плоскости. Пишут: $R=0$.
  3. В том случае, когда множество $D$ ограничено и содержит хотя бы одну точку помимо $z=0$, то $$R=sup\left|z \right|, z \in D.$$ Докажем, что данный ряд сходится в круге $K=\left\{z:\left | z \right |<R\right\}$, a вне замыкания круга — расходится.(рис. 1) Пусть точка $z_{k} \in K$. Следовательно, $\left|z_{k} \right| < R$. По определению точной верхней грани это означает, что $$\exists z_{1} \in D:\left|z_{k} \right| < \left|z_{1} \right| < R.$$ Так как ряд сходится в точке $z_{1}$, то, по теореме Абеля, он абсолютно сходится в точке $z_{k}$. Таким образом, ряд абсолютно сходится в каждой точке, лежащей внутри круга $K$. Пусть точка $z_{2}$ лежит вне замыкания круга $K$ (рисунок). Тогда $\left|z_{2} \right| > R$. Следовательно, данная точка не принадлежит области сходимости по определению точной верхней грани. Таким образом, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ расходится в точке $z_{2}$. Что и требовалось доказать.

radex

Пример 1 показать

Пример 2 показать

Пример 3 показать

Литература

Существование радиуса сходимости

Для закрепления вышеизложенного материала предлагаю пройти тест.


Таблица лучших: Существование радиуса сходимости

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Коэффициенты Тейлора, ряд Тейлора

Определение

Если функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и является бесконечно дифференцируемой (имеет в данной точке производные всех порядков), то степенной ряд вида $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\left(x-x_{0}\right)^n$$ называется рядом Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_{0}$, где числа $$a_{n}=\frac{{f}^{\left(n \right)}\left(x_{0} \right)}{n!} \;\;\; \left(n=0,1,2,\ldots \right)$$ это коэффициенты Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_{0}$.

Пример показать

Сходимость ряда Тейлора к функции

Пусть функция $f\left(x\right)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_{0}$. Поставим ей в соответствие формулу Тейлора: $$f\left(x\right)=\sum\limits_{n=0}^{n}\frac{{f}^{\left(n\right)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}+r_{n}\left(x\right),$$ где $r_{n}\left(x \right)$ — остаток в формуле Тейлора. Обозначим, $$S_{n}\left(x\right)=\sum\limits_{n=0}^{n}\frac{{f}^{\left(n \right)}\left(x_{0} \right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n},$$ где $S_{n}\left(x\right)$— частичная сумма данного ряда Тейлора данной функции. Следовательно, можем записать равенство: $$f\left(x \right)=S_{n}\left(x \right)+r_{n}\left(x \right).$$ Тогда для того, чтобы $\lim\limits_{ n \to \infty}s_{n}\left(x \right)=f\left(x\right)$, функция $f\left(x\right)$ на заданном интервале должна быть равной сумме своего ряда Тейлора.

Таким образом, для сходимости ряда Тейлора функции $f\left(x\right)$ к функции $f\left(x\right)$ на некотором интервале необходимо и достаточно , чтобы для всех $x$ из этого интервала ее остаточный член в формуле Тейлора стремился к нулю: $$\lim\limits_{ n \to \infty}r_{n}\left(x \right)=0. $$

Литература

Коэффициенты Тейлора

Предлагаю пройти Вам данный тест на закрепление материала по данной статье.


Таблица лучших: Коэффициенты Тейлора

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Первая теорема Абеля

Теорема

Если степенной ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$$ сходится при $z=z_0\neq0$, то он сходится, и притом абсолютно, при любом $z$, для которого $\left|z\right|<\left|z_{0}\right|$.

abel

Доказательство

По условию ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится при $z=z_{0}$. Обозначим:
$$K=\left\{z:\left|z\right|<\left|z_{0}\right|\right\}.$$

Положим, что $\rho=\frac{\left|z \right|}{\left|z_{0} \right|}$. Причем так как $\left|z \right|<\left|z_{0} \right|$, то $\rho<1$.

Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ в точке $z_{0}$ следует сходимость числового ряда вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z_{0}^{n}$. Следовательно, выполняется необходимое условие сходимости ряда, а именно: $$\lim\limits_{ n \to 0}a_{n}z_{0}^{n}=0.$$

Тогда последовательность $\left\{a_{n}z_{0}^{n}\right\}$ ограничена, т.е. $$\exists M>0\; \forall n:\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|< M.$$

Имеем следующее: $\left|a_{n}z^{n}\right|=$$\left|a_{n}z^{n}\right|\cdot \left|\frac{z_{0}^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\cdot\frac{z^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|\cdot\left|\frac{z^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|\rho^{n} < M\rho^{n}. $

Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}M\rho^{n}$. Так как мы знаем, что $0\leq\rho<1$, то, в силу необходимого условия сходимости ряда, данный ряд сходится.

Тогда, по признаку сравнения в форме неравенств, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится абсолютно для $\forall z \in K$.

Следствие 1

Если степенной ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$$ расходится при $z=z_{0}\neq0$, то он расходится при любом $z$, для которого $\left|z\right|>\left|z_{0}\right|$.
sledab

Доказательство показать

Следствие 2

Если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится в точке $z_{0}\neq0$, то в замкнутом круге $K_1=\left\{z:\left|z\right|\leq \vartheta\right\}$, где $\vartheta<\left|z_{0}\right|$ этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Доказательство показать

Литература

Теорема Абеля

Тест на закрепление вышеизложенного материала.


Таблица лучших: Теорема Абеля

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных