Предел функции по множеству


Возьмём произвольные множества $X$, $Y$. Отображением $F$ из $X$ в $Y$ называется соответствие, которое каждому $x\in X$ сопоставляет единственный элемент $y \in Y$.

  • Множество $X$ — область определения.
  • Множество всех $y\in Y$ — область значения. Надо рассмотреть функции $f$, определённые на некоторых множествах $E \subset \mathbb{R}^{n}$ со значениями в ${R}^{m}$. Такие функции называются векторными функциями многих переменных. Значениями функции $f$ являются $m$-мерные векторы. Функции такого вида также будем называть отображениями.
    Функция значения которой являются действительные числа наз. действительной.Функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R} , E \subset \mathbb{R}^{n}$.Пусть $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m} , m \geq 2 $ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Тогда для любого фиксированного $x\in E$ с значением $f(x)$ есть $m$ — мерный вектор, который мы можем записать в таком виде:$f(x) = (f^{1}(x),…,f^{m}(x)),$ где
    $f^{i}(x)$ — действительный числа(координаты вектора $f(x)$.

    Поэтому следует, что мы получаем $m$ действительных функций на множестве $E: f^{i}: E \mapsto \mathbb{R}$.
    $f = (f^{1},…,f^{m}),$
    $f^{i}$ — называют компонентами векторной функции $f$.

    Предел функции

    Дано множество $E \subset \mathbb{R}^{n}$, $a$ — предельная точка множества $E$ и функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$.
    Точка $b\in \mathbb{R}^{m} $ называется пределом функции $f$ в точке по множеству $E$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, отличных от точки $a$ и удовлетворяющих условию $0 < \left | x-a \right | < \delta$ , справедливо неравенство $\left | f(x)- b \right | < \varepsilon$. В этом случае пишут

    $b = \lim\limits_{x \to a, x \in E } {f(x)}$

    и говорят, что $f(x)$ стремится к $b$, проходя множество $E$.

    Теорема

    Допустим функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $a$ — предельная точка множества $E$. Чтобы точка $b\in\mathbb{R}^{m}$ являлась пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$ , необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к $a$ последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$, отличных от $a$, было выполнено равенство $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa ) = b$.

    Необходимость:

    Пусть $\lim\limits_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ и пусть $x_\kappa \in E,x_\kappa \neq a, \lim\limits_{\kappa \to \infty} x_\kappa = a $, то есть фиксируем некоторую последовательность $0 $<$ \left | x — a \right | $<$ \delta $ . Докажем, что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b$. Зададим $\varepsilon > 0$. Тогда, по определению предела функции , найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E $, удовлетворяющих условию $ 0 $<$ \left | x — a \right | < \delta $ справедливо неравенство $\left | f(x) — b\right | < \varepsilon $, так как $ x_{\kappa }\rightarrow a$ и $ x_{\kappa } \neq a $, то найдётся такой номер $N$, что при любом $\kappa \geq N$ будет $0<\left | x_{\kappa}-a \right |<\delta$.
    Поэтому для $ \kappa \geq N$ выполнено неравенство $ \left | f(x_{\kappa}) — b\right | < \varepsilon $. Это означает,что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b.$

    Достаточность:

    Сделаем предположение,что предел функции $f$ в точке $a$ либо не существует,либо существует,но не равен $b$. Тогда найдется такое $ \varepsilon_{0} > 0 $ , что для любого $ \delta > 0 $ найдется точка $ x’ \in E$ для котoрой, $\left | x’-a \right | < \delta $, но $\left | f(x’) — b\right | \geq \varepsilon$. Пологая $\delta =\frac{1}{\kappa}$, построим последовательность точек$x’_{\kappa}$, для которых $ 0 $<$ \left | x’_{\kappa } — a \right | $<$ \frac{1}{\kappa } $, но $\left |f(x’_{\kappa }) — b \right | \geq \varepsilon _{0} $, тогда получим, что $x’_{\kappa} \rightarrow a $, нo $f\left ( x’_{\kappa } \right )$ не стремится к $b$, а это противоречит нашему условию.

    Определим функцию по Гейне:

    Точка $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$ ,сходящейся к $a$,  $x_{\kappa } \neq a$, соответствующая последовательность $\left \{ f(x_{\kappa }) \right \} $ значений функции сходится к точке $b$.

    Для доказательства следующей теоремы, достаточно воспользоваться определением предела по Гейне.

    Теорема(арифметические свойства): пусть функции $f,g$: $ E\rightarrow \mathbb{R}^{m}, E\subset \mathbb{R}^{n}$, $a$- прeдельная точка множества $E$ и

    $\lim\limits_{x\to a, x \in E}f(x) = b$, $\lim\limits_{x\to a, x \in E}g(x) = c$

    Тогда
    1)$\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f+g)(x) = b+c$;

    2)$\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b \cdot c$;

    3)если $f,g$ — действительные функции и $g(x)\neq 0, c\neq 0$ ,то $\lim\limits_{x\to a, x \in E}\frac{f}{g}(x) = \frac{b}{c}.$

    Литература

  • В.И. Коляда и А. А. Кореновский » Курс лекций по математическому анализу.Часть 1.»- О.: «Астропринт» ,2009. — (с.250-252)
  • Конспект лекций Г.М. Вартаняна
  • предел функции на множестве

    Тест на закрепление материала на тему «Граница функции на множестве»

Извлечение корней. Первообразные корни из единицы



Допустим число $\alpha$  задано в тригонометрической форме,то при целом положительном $n$ из формулы $\alpha = r\left ( \cos\varphi + i \sin\varphi \right )$ следует формула
$\left [ r\left ( \cos\varphi + i\sin n\varphi \right ) \right ]^n = r^n\left ( \cos n\varphi + i \sin n\varphi \right ) $, то есть при возведении комплексного числа в степень модуль тоже возводится в эту степень , а аргумент умножается на показатель степени.

Намного больше трудностей представляет собой извлечение корня из комплексного числа. Начнём с извлечения квадратного корня из числа $\alpha = a + bi$. Можем записать, что $\sqrt{a + bi} = u + vi$. Из этих двух равенств мы получаем:

$ u^2 = \frac{1}{2}\left ( a + \sqrt{a^2 +b^2} \right )$, $v^2 = \frac{1}{2}\left ( -a + \sqrt{a^2 +b^2} \right )$.

Пример

... показать

Попытки извлечения из комплексных чисел, заданных в виде $a+bi$ ,корней более высокой степени, чем вторая, более трудоёмкие.

Теперь нужно извлечь корень $n$ -й степени из числа $\alpha = r (\cos\varphi + i\sin\varphi )$. Предположим, что это можно сделать. А в результате получим число $p(\cos\sigma + i\sin\sigma)$, то есть
$ \left [ p\left ( \cos\sigma + i \sin\sigma \right ) \right ]^n = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) .$
Используя формулу Муавра, $p =\sqrt[n]{r}$ и $\sigma = \frac{\varphi + 2k \pi }{n} $.

$\sqrt[n]{r(\cos\varphi + i\sin\varphi )} = \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\varphi + 2k\pi }{n} + i \sin\frac{\varphi + 2k\pi }{n}).$

Извлечение корня $n$ степени из комплексного числа $\alpha$ всегда возможно и дает $n$ различных значений. Все значения корня $n$ степени разложены на окружности радиуса $\sqrt[n]{\left | \alpha \right |}$ с центром в нуле и деля эту окружность на $n$ равных частей.

Пример

... показать

Изобразим наше решение примера графически:

Корни из единицы
Важен случай извлечения корня $n$-й степени из числа 1. Все корни $n$-й степени даются формулой:

$\sqrt[n]{1} = \cos\frac{2k\pi }{n}+ i\sin\frac{2k\pi }{n}; k = 0,1…,n-1.$

Умножением одного из значений корня на все корни $n$-й степени из единицы можно получить все значения корня $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$.
Корень $n$-й степени из единицы $ \varepsilon $ будет первообразным $\Leftrightarrow$ если его степени $\varepsilon^{k}, k = 0,1,…,n-1,$ различны ,то есть если ими исчерпываются все корни $n$-й степени из единицы.
Если $ \varepsilon $ есть первообразный корень $n$-й степени из единицы, то число $\varepsilon^{k}$ будет первообразным корнем $n$-й степени $\Leftrightarrow$, когда ${k}$ взаимно просто с ${n}$. Числа называются взаимно простыми если они не имеют никаких общих делителей кроме 1 и -1.
Пример

... показать

Литература

извлечение корней

извлечение корней


Таблица лучших: извлечение корней

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Отображения, типы отображений, тождественное отображение.


Отображения, типы отображений, тождественное отображение.

Понятие отображения или функции играет центральную роль в математике. При заданных множествах $X$ и $Y$ отображение $f$ с областью определения $X$ и областью значений $Y$ сопоставляет каждому элементу $x\in X$ элемент $f(x)\in Y$, обозначаемый также $fx$ или $f_x$. В случае $Y = X$ говорят ещё о преобразовании $f$ множества $X$ в себя. Символически отображение записывается в виде:

$f:X \to Y$ или $X\xrightarrow{f}Y$.

Образом при отображении $f$ называется множество всех элементов вида

$ $Im$ f = \left\{f(x) \mid x \in X\right\}$ = $f(X)\subset Y$.

Отображение $f:$ $X \to Y$ называется сюръективным или отображением на, когда $Im f $= $Y$. Oно называется инъективным, когда из $x$ $\ne$ $x’$ следует $f(x) \ne f(x’)$ Наконец, $f: X \to Y$ — биективное или взаимно однозначное отображение, когда оно одновременно сюръективно и инъективно. Равенство $f$ = $g$ двух отображений означает по определению, что их соответствующие области совпадают: $X\xrightarrow{f}Y$, $X\xrightarrow{g}Y$, причём $\forall x \in X f(x) = g(x)$. Сопоставление «аргументу» $x$, т.е. элементу $x \in X$.

Тождественное отображение множества $X$ в себя условимся обозначать через $\varepsilon _X$; таким образом,

$\alpha\varepsilon_X= \alpha$  для всех  $\alpha \in X$.

Тождественное отображение играет при умножении роль единицы, так как для любых отображений  $\varphi: X\rightarrow Y$ и $\psi:U\rightarrow X$

$\varepsilon _X\varphi = \varphi, \psi \varepsilon_X =\psi$.

Примеры:

1)Инъективное отображение

2)Не является отображением

3)Биективное отображение

Литература

 

Отображения

Пройдя этот тест вы намного лучше закрепите материал по теме «Отображения, типы отображений, тождественное отображение».

Таблица лучших: Отображения

максимум из 12 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных