Вычисления площадей плоских областей, ограниченных кривыми, заданными параметрически и в полярных координатах

Параметрическое задание

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x=a, x=b, ось абсцисс и параметрически заданная кривая

 \left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right.

Причем: функции x и  y непрерывны на интервале [a,b], a<b; x=\varphi (t) монотонно возрастает на этом интервале и \varphi (\alpha )=a, \psi (\beta )=b.

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле  S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi '(t)dt

Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi '(t)dt подстановкой: S(G)=\int\limits_\alpha^\beta \psi (t)*\varphi '(t)dt

Если функция является монотонно убывающей на интервале [\beta ,\alpha], \beta < \alpha, то формула примет следующий вид:  S(G)=-\int\limits_{\beta }^{\alpha }\psi (t)*\varphi '(t)dt

Что делать, если нам дана не криволинейная трапеция? Свести данную фигуру к ней. Поделить её на части (прямыми, параллельными абсциссе и ординате), площадь которых уже можно будет посчитать описанным выше способом.

Примеры:

... показать

... показать

Полярное задание

А что, если функции, ограничивающие нашу область, заданы полярно?
Есть простая формула: $$ S=\frac{1}{2} \int\limits_{\alpha }^{\beta }r^{2}d\varphi $$ Здесь \alpha и \beta — значения углов, ограничивающих фигуру, r — расстояние от начала координат до точки, \varphi — угол. Уравнение функции в полярных координатах — r=f(\varphi )

Помните: в полярных координатах тоже стоит делить область на простые части.

Пример:

... показать

Источники:

Тест

Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

В этом тесте предоставлены упражнения по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить эти задания.

Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Вычисление пути и его длины.

Параметрическое задание:

Дано  \left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right.

Тогда площадь находится по формуле: S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{(\varphi' (t))^{2}+(\psi' (t))^{2}}dt

Полярное задание:

Дано r=f(\alpha ), где r — расстояние от точки до начала координат, \alpha — угол между радиус-вектором с концом в этой точке и осью OX.

S=\int_{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\sqrt{((r\cos \alpha )')^{2}+((r\sin \alpha )')^{2}}dt

Пример:

... показать

Обычное задание:

Дана функция в виде y=f(x).

S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{1+(y')^{2}}dx

Пример:

... показать

Почему эти формулы верны?

... показать

Источники:

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 2, стр. 192. Издание 2001 года можно скачать здесь.

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г.,  том 2, стр. 169. Издание 1964 года можно скачать в меню справа.

Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997 г., стр. 234-235(примеры задач). Можно также скачать в меню справа.

Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

Определения

Путем на плоскости называется отображение t \mapsto (\varphi (t),\psi (t)) отрезка \left [ \alpha,\beta \right ] в \mathbb{R}^{2}, задаваемое парой непрерывных функций \varphi и \psi. Это означает, что каждому значению t\in \left [ \alpha,\beta \right ] ставится в соответствие точка плоскости с координатами \left ( x,y \right ), где x=\varphi (t),y=\psi(t).
След пути — множество точек \left \{ \left ( \varphi (t),\psi (t) \right )\in \mathbb{R}^{2}:\, t\in\left [ \alpha ,\beta \right ] \right \}.
Длина пути — точная верхняя грань длин ломанных, вписанных в след пути.
Если длина пути конечна, то путь называется спрямляемым.
Если функции \varphi и \psi непрерывно дифференцируемы на отрезке \left [ \alpha ,\beta \right ], то путь \gamma =(\varphi ,\psi ) называется дифференцируемым.

Теорема

Дан путь \gamma\left\{\begin{matrix} x=\varphi (t)\\y=\psi (t) \end{matrix}\right.

Пусть \gamma = (\varphi ,\psi ) непрерывно дифференцируемый путь на отрезке \left [ \alpha ,\beta \right].
Тогда L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{'}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{'}(t)\right ]^{2}}dt, где L_{(\gamma )} — длина пути.

Доказательство

Часть 1

\square \Pi :\alpha =x_{0}<x_{1}< ... <x_{n}=\beta — произвольное разбиение отрезка \left [ \alpha ,\beta \right]. Возьмём ломаную, проведённую между точками с соседними номерами. Очевидно, её длина:
S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}} — как сумма расстояний между соседними точками.
По формуле конечных приращений:

  • x_{i+1}-x_i=\varphi '(t_i)(t_{i+1}-t_i);
  • y_{i+1}-y_i=\psi '(t_i)(t_{i+1}-t_i);

Тогда длина ломаной будет равна: S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(\varphi '(t))^{2}+(\psi '(t))^{2})}(t_{i+1}-t_i).
Обозначим наибольшие значения производных \psi '(t) и \varphi '(t) :
L=sup(|\psi '(t)|) и \overline{L}=sup(|\varphi '(t)|).
Очевидно: S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^2}(T-t_{0}), T и t_0  — границы отрезка. Из неравенства делаем вывод, что путь спрямляем, так как длина ломаной ограничена сверху.
Аналогично, можно получить формулу:
S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^2}(T-t_{0}), где l=inf(|\psi '(t)|), \overline{l}=inf(|\varphi '(t)|)

Часть 2

У нас имеются выведенные в части 1 неравенства:

  • S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^{2}}(T-t_0);
  • S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^{2}}(T-t_0);

Получаем: \sqrt{L^2+\overline L^2}(T-t_0)\geq S\geq \sqrt{l^2+\overline l^2}(T-t_0), p=inf(S)
А теперь возьмём точку a_1 на нашей дуге с координатами (t_1,y_1). Придадим её абсциссе приращение \Delta t и получим точку a_2(t_1+\Delta t, y_2). Получили две точки на дуге и часть дуги ограничена этими точками. Применим к этой части наше двойное неравенство.
При \Delta t \rightarrow 0 левая часть стремится к \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\Delta t. Аналогично, для правой.
Получаем \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\Delta t\geq S\geq \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\Delta t. Преобразуем это двойное неравенство:
\sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\geq \frac{S}{\Delta t}\geq \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}.
L^{'}_{(\gamma )}=\sqrt{(\varphi '(t))^2+((\psi '(t))^2}.
Тогда L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{'}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{'}(t)\right ]^{2}}dt, где L_{(\gamma )} — длина пути. \blacksquare

Замечание: В первоисточниках, использованных при написании этого материала, доказательство теоремы не разбивается на 2 части. Тем не менее, для большего удобства здесь оно разбито на 2 основных части.

Следствия из теоремы

Из доказанной выше формулы получаются три формулы, описанные здесь и применяемые на практике.

Литература:

  1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 2, стр. 192 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 1, стр. 192 (определения, теорема).
  2. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г.,  том 2, стр. 169 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 1, стр. 560,562-563 (определения, теорема).

Тест

Таблица лучших: Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных