Теорема о существовании верхней и нижней грани

Если X \neq \varnothing и Xограничено сверху (снизу) в \mathbb{R}, то \exists \sup X<\infty. (\exists \inf X>-\infty)

\square Докажем случай для supremum’а.

Пусть E — множество всех верхних границ множества X, то есть X\leq E. По аксиоме непрерывности \exists c \in \mathbb{R}:X\leq c \leq E.

71

\left.\begin{matrix}  X\leq c\leq E; \Rightarrow X\leq c;\\X\leq c\leq E; \Rightarrow c\leq E;  \end{matrix}\right\} \Rightarrow c=\sup X<\infty. \blacksquare

Аналогично доказывается существование infimum’а.

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.8.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.45.

Подробнее на:

Wikiversity

Метод математической индукции

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: если требуется доказать истинность утверждения P(n), \forall n \in \mathbb{N}, то сначала проверяют данное утверждение для некоторого натурально числа n_0 , обычно n_0=1, а потом допускают истинность выражения P(k). Далее доказывают истинность утверждения P(k+1).

Упражнение:

Доказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа. Доказательство призвано продемонстрировать ошибки, возникающие при неправильном использовании метода математической индукции.

Доказываемое утверждение: все лошади одного цвета.

Доказательство:

Проведем доказательство по индукции.

База индукции:

Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета.
Шаг индукции:
Пусть доказано, что любые K лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим K+1  каких-то лошадей. Уберем одну лошадь. Оставшиеся K  лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберем какую-то другую. Оставшиеся K  лошадей снова будут одного цвета. Значит, все K+1 лошадей одного цвета.

Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.

В чем ошибка?
Решение

... показать

Пример:

1) Доказать равенство: 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, n\in \mathbb{N}.

\square 1)  1^{2}=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=1.

2) Пусть данное утверждение верно для n=k:   1^{2}+\cdots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.

3) Докажем истинность утверждения для n=k+1.

\overbrace{1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}}^{\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}=

\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}

\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}=

\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}

\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6}=

\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}

k(2k^{2}+k+2k+1)+6(k^{2}+2k+1)=

(k+1)(2k^{2}+3k+4k+6)

 2k^{3}+3k^{2}+k+6k^{2}+12k+6=

2k^{3}+7k^{2}+6k+2k^{2}+7k+6

2k^{3}+9k^{2}+13k+6=

2k^{3}+9k^{2}+13k+6.   \blacksquare

2) Доказать, что для всех натуральных чисел n справедливо неравенство n \leq 2^{n}.

\square Для n=1 неравенство принимает вид 1 \leq 2, т.е. оно справедливо.

Предположим, требуемое неравенство имеет место при некотором n=k и покажем, что оно же справедливо и для n=k+1.

Сложим предположение индукции k \leq 2^{k} с неравенством 1 \leq 2 \leq 2^{k}. Находим k+1 \leq 2^{k}+2^{k}=2^{k+1}, что и требовалось доказать. \blacksquare

Тест "Метод математической индукции"

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Тест "Метод математической индукции"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
  • В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.4.

 

Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула, представляющая выражение (a+b)^{n} при n>0  в виде:

(a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+

C_{n}^{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n},

где C_{a}^{b} — число сочетаний из a элементов по b элементов.

C_{n}^{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}.

Докажем верность данного утверждения:

\square Доказательство методом математической индукции.

1) Для n= 1 :

a+b=C_{1}^{0}a^{1-0}b^{0}+C_{1}^{1}a^{1-1}b^{1}=

a*1+b*1=a+b.

Для n=1 утверждение выполняется.

2) Предположим, что утверждение выполняется для n=k.

(a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k-0}b^{0}+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{1}+

C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+C_{k}^{k}a^{0}b^{k}=

a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+

C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+b^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}.

3) Докажем верность формулы для n=k+1.

Докажем, что (a+b)^{k+1}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}.

(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}=

(a+b)\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}=

\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}

Вынесем слагаемое при i=0 из первой суммы:

\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i} = a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}

Вынесем слагаемое при i=k из последней суммы:

\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=

b^{k+1} + \sum\limits_{i=0}^{k-1}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=

b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}

Прибавим данные суммы:

a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+

b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=

=a^{k+1}+b^{k+1}+

\sum\limits_{i=1}^{k}(C_{k}^{i}+C_{k}^{i-1})a^{k-i+1}b^{i}=

=\sum\limits_{i=0}^{0}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+

\sum\limits_{i=k+1}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+

\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=

=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i} \blacksquare

Также с помощью бинома Ньютона строится треугольник Паскаля, в котором числа в строке обозначают коэффициенты при соответствующих степенях:

552

Примеры:

1) (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+\frac{3!}{1!*2!}ab^{2}+b{3}=

       a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

2) (a+b+c)^{4}=?

(a+b+c)^{4}=(a+(b+c))^{4}=

a^{4}+a^{3}(b+c)\frac{4!}{3!}+a^{2}(b+c)^{2}\frac{4!}{2!2}+

a(b+c)^{3}\frac{4!}{3!}+(b+c)^{4}=

a^{4}+a^{3}b\frac{4!}{3!}+a^{3}c\frac{4!}{3!}+a^{2}b^{2}\frac{4!}{2!2!}+2a^{2}bc\frac{4!}{2!}+

a^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+ab^{3}\frac{4!}{3!}+3ab^{2}c\frac{4!}{1*2*3}+

+3abc^{2}\frac{4!}{1*2*3}+ac^{3}\frac{4!}{3!}+

b^{4}+b^{3}c\frac{4!}{3!}+b^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+bc^{3}\frac{4!}{3!}+c^{4}=

=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c)+

6(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})+4(b^{3}a+c^{3}a+ c^{3}b)+

12(a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab).

Список литературы:

Тест "Бином Ньютона"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме.

Таблица лучших: Тест "Бином Ньютона"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Верхняя и нижняя грани множества

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число M называется точной верхней гранью (границей), если:

1) для \forall x \in X: x \leq M;

2) для \forall {M}'<M: \exists {x}' \in X:{x}'>{M}'; (любое число меньшее M верхней гранью не является).

M=\sup X (M — супремум X).

Число M называется точной нижней гранью (границей), если:

1) для \forall x \in X: x \geq M;

2) для \forall {M}'>M: \exists {x}' \in X:{x}'<{M}'; (любое число меньшее M верхней гранью не является).

M=\inf X (M — инфимум X).

(если множество X неограничено сверху, то пишем \sup{X}=+\infty; если множество X неограничено снизу, то пишем \sup{X}=-\infty.)

Примечание: если M не является точной верхней гранью множества X  и \forall x \in X : x \leq M, тогда \exists {M}'<M : \forall {x}' \in X : {x}'>{M}';

если M не является точной нижней гранью множества X  и \forall x \in X : x \geq M, тогда \exists {M}'>M : \forall {x}' \in X : {x}'<{M}'.

Примеры:

1) X=[1;2) :

\sup X=2 \notin X;   \inf X=1.

2) X=\left\{\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};...\right\};

\sup X=\max X=\frac{1}{2} \in X;

\inf X=0 \notin X.

Единственность верхних и нижних точных граней

Если множество имеет \sup и \inf, то он единственный.

\square Рассмотрим для \sup.

 Пусть множество X  имеет 2 точных верхних грани:  M_{1} и M_{2}.

41

Допустим M_{1}<M_{2}.

Так как M_{1}<M_{2} и M_{2}=\sup{X}, то  \exists {x}' \in X: {x}'>M_{1}, что противоречит тому факту, что M_{1}=\sup{X}.   \blacksquare

Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.

Практические задания:

1) Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел r, удовлетворяющих равенству r^{2}<2.

Решим неравенство r^{2}.

x \in \left (-\sqrt{2}; \sqrt{2} \right )

\sup r= \sqrt{2} Докажем это:

1) \forall x \in r: x \leq \sqrt{2}. Так и есть, \sqrt{2} является верхней границей множества r.

2) \forall {M}'< \sqrt{2} : \exists {x}' \in r:{x}'>{M}';

Действительно, всякие рациональные x< \sqrt{2} (и при этом x> -\sqrt{2}) будут элементами множества r, причём \forall \epsilon : \exists x \in r : \sqrt{2} - x< \epsilon. То есть какое бы рациональное число из r мы не взяли, можно взять рациональное число из r так, что оно будет находиться ближе к \sqrt{2} на числовой прямой.

2) Пусть \left \{ -x\right \} — множество чисел, противоположных числам x \in \left \{x \right \}.

Доказать, что \inf \left \{-x \right \}= \sup\left \{x \right \}.

\square Пусть (-x) — элемент из множества \left \{-x \right \} противоположный элементу x из множества \left \{x \right \}.

Распишем точную нижнюю грань для множества \left \{-x \right \} по определению:

1) \forall (-x) \in \left \{-x \right \}: (-x) \geq M;  \Rightarrow   \forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;

2) \forall {M}'>M: \exists (-{x}') \in \left \{-x \right \} : (-{x}')<{M}' \Rightarrow

  \Rightarrow \forall (-{M}')<-M: \exists {x}' \in \left \{ x \right \}: {x}' > -{M}'.

Получили:

1)  \forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;

2)  \forall (-{M}')<-M: \exists {x}' \in \left \{ x \right \}: {x}' > -{M}'.

Тоесть: -M = \sup \left \{ x \right \}  \Rightarrow  M=- \sup \left \{ x \right \}.

Так как M= \inf \left \{-x \right \}, \inf \left \{-x \right \} = - \sup \left \{ x \right \}.  \blacksquare

Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.7.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.44.

Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по мат.анализу» (издание пятое) стр.12. №17, 19а.

Подробнее на:

sernam.ru

 Wikipedia

Ограниченные и неограниченные множества

Множество X(\subset\mathbb{R}) называется ограниченным сверху, если \exists c\in\mathbb{R}: \forall x\in X: x\leq c, то есть все элементы множества X лежат левее c.

31

Например: 3,2,1,0,-1,... ограничено сверху любым числом, которое больше или равно 3.

В данном случае, число c называется верхней границей множества X.

Множество X(\subset\mathbb{R}) называется ограниченным снизу, если \exists c\in\mathbb{R}: \forall x\in X: x\geq c, то есть все элементы множества X лежат правее c.

32

В данном случае, число c назовём нижней границей множества X.

Например: 1,2,... ограничено любым числом, которое меньше или равно 1.

Множество X(\subset\mathbb{R}) называется ограниченным, если \exists {c}',c \in\mathbb{R}: \forall x \in X: {c}' \leq x \leq c.

Проще говоря, множество X называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и ограниченно снизу .

Предложение: (другая запись ограниченности множества)

Множество X(\mathbb{R}) ограниченно \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}:\forall x \in X: \left|x\right| \leq c.

-c \leq x \leq c

x — найбольший элемент (максимум)  множества X, если x\in X и \forall y\in X: y\leq x.

x — найменьший элемент (минимум)  множества X, если x\in X и \forall y\in X: y\geq x.

Например: x=(0;1]  не имеет минимума.

Теорема

(принцип Архимеда)

Для \forall x \in \mathbb{R}   \exists n \in \mathbb{N}: n>x, то есть множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве вещественных чисел.

\square Докажем методом от противного. Предположим, что \mathbb{N} ограничено сверху во множестве \mathbb{R}. Тоесть E — множество всех его верхних границ (не пустое). \mathbb{N} \leq E, тогда по аксиоме непрерывности \exists c \in \mathbb{R}: \mathbb{N} \leq c \leq E. Так как c \leq E, то c не является верхней границей. Следовательно, c-1 \notin E, то есть c-1 не является верхней границей для \mathbb{N}. \exists n \in \mathbb{N}: n>c-1 \Leftrightarrow c<n+1. Так как n \in \mathbb{N}, то n+1 \in \mathbb{N}. Получаем, что n+1 \leq c. Получили противоречие с тем, что c<n+1. \blacksquare

Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме

Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.

Подробнее на:

Wikipedia

mate.oglib.ru