M1459

Игроки A и B по очереди ходят конем на шахматной доске 1994х1994. Игрок А может делать только горизонтальные ходы, т.е. такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку В разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок А ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока А существует выигрышная стратегия.
Первое решение.

Так как число всех возможных позиций в игре конечно, то один из двух игроков обязательно имеет выигрышную стратегию. Если у игрока А нет выигрышной стратегии, то игрок В правильно играя, выигрывает при любом первом ходе А. Докажем, что это невозможно. Для этого организуем две игры на двух досках. На первой доске А делает произвольный первый ход с поля х на поле у. На второй доске А ставит коня на поле у и ждет ответного хода В на первой доске, после чего в точности повторяет ход В на второй доске в качестве своего хода. На второй доске A делает вертикальные ходы, а В горизонтальные. Однако если повернуть доску на 90 °, то игра происходит в точности по правилам условия задачи. Далее игрок В делает горизонтальный ход на второй доске, который повторяется игроком А на первой доске в качестве своего хода и т.д. Заметим, что игрок В не может на второй доске попасть на поле х, так как В всегда ходит на поле одного цвета, отличного от цвета х. В этой двойной игре А всегда имеет возможность сделать очередной ход, если В имеет такую возможность. Поэтому проиграет В вопреки «предположению» что у него есть выигрышная стратегия.

Второе решение.

Выигрышная стратегия для игрока A такова. Он должен вначале игры поставить коня на любую клетку, из которой выходит стрелка (см. рисунок), и сделать ход в направлении, указанном стрелкой. После хода В конь вновь окажется в клетке, из которой выходит стрелка. А вновь движется по стрелке, и так далее. Видно, что у него всегда есть возможность сделать ход, поэтому победа ему гарантирована. При этом он никогда не попадает на клетки, в которых уже побывал.

А.Перлин

М1459

Определение производной

Определение:

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x_0 и пусть существует конечный предел отношения
\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}<\infty
Тогда этот предел называют производной функции f в точке x_0 и обозначают:
f'(x_0) или y'(x_0) или \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0} или \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}.
f'(x_0)= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) называется приращением функции в точке x_0
\Delta x=x-x_0 называется приращением аргумента в точке x_0.

Примеры:

  1. y=C => \Delta y=C-C=0 => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0 => C'=0;
  2. y=\sin x => \Delta y= \sin (x+\Delta x)-\sin x=2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\frac{2x+\Delta x}{2}=>\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=1; \sin x \sim x, x \to 0]=\cos\underset{\Delta x \to 0}{(x+\frac{\Delta x}{2})}=\cos x => (\sin x)'=\cos x;
  3. y=\cos x => \Delta y =\cos (x+ \Delta x)-\cos x= -2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2}) => \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{-2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=-\sin x => (\cos x)' = -\sin x;
  4. y=a^x => \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x =>\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=[a^x-1\sim x, x\to 0]=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{a^x(\Delta x\mathrm{ln}a)}{\Delta x}=a^x\mathrm{ln}a => (a^x)'=a^x\mathrm{ln}a;  (e^x)'=e^x;
  5. y=\log_a x=> \Delta y=\log_a (x+\Delta x) - \log_a x => \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a (x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (\frac{x+\Delta x}{x})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}=[\log_a x \sim \frac{x}{\ln a}, x \to 0]=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x\ln a}}{\Delta x}=\frac{1}{x\ln a} => (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a};  (\ln x)'=\frac{1}{x};
  6. y=x^\alpha => \Delta y = (x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x^\alpha(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}=x^\alpha \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1}{\frac{\Delta x}{x}\cdot x}=[(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x, x\to 0; (1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1\sim\alpha\frac{\Delta x}{x}]=x^\alpha\cdot\alpha\cdot\frac{1}{x}=\alpha x^{\alpha-1} => (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1}

Практические примеры:

(5)'=0;
(2^x)'=2^x\ln 2;
(\log_3 x)'=\frac{1}{x \ln 3};
(x^5)'=5x^4;

Определение производной

Тест по теме «Определение производной» и на понимание примеров к ней.

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература:

Символ Ландау

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое (O и o).

Определение:

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x_0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

  • f является «О» большим от g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{O(g)}, если существует такая константа C>0, что для всех x из некоторой окрестности точки x_0 имеет место неравенство |f(x)| \leq C |g(x)|;
  • f является «о» маленьким от g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{o(g)}, если для любого \varepsilon >0 найдется такая проколотая окрестность U'_{x_0} точки x_0, что для всех x \in U'_{x_0} имеет место неравенство |f(x)|<\varepsilon|g(x)|.

Иначе говоря, в первом случае отношение |f|/|g| в окрестности точки x_0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при x\to x_0, то есть функция f является бесконечно малой в сравнении с g.

Примеры:

x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x=0;
\sin^2 x=\underset{x\to x_0}{O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}, т.к. \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0;
-x^3={O(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{-x^3}{x}=\lim\limits_{x\to 0}-x^2; а функция -x^2 ограничена сверху в окрестности точки 0.
\sin^2 x={O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}, т.к. \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin^2 x}{x}=\lim\limits_{x\to x_0}\sin x; а функция \sin x всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций f=f(x),\:g=g(x) и x \epsilon \mathbb{R} справедливы равенства:

  1. o(f)+o(f)=o(f);
  2. o(f) тем более есть O(f);
  3. o(f)+O(f)=O(f);
  4. O(f)+O(f)=O(f);
  5. \frac{o(f(x))}{g(x)}=o(\frac{f(x)}{g(x)}) и \frac{O(f(x))}{g(x)}=O(\frac{f(x)}{g(x)}), если g\neq 0; 
  6. o(o(f))=o(f);
  7. o(Cf)=o(f);
  8. C\cdot o(f)=o(f);
  9. o(f+o(f))=o(f);
  10. o(f)\pm o(f)=o(f);
  11. o(f^n)\cdot o(f^m)=o(f^{n+m}), n,m\epsilon\mathbb{N};
  12. (o(f))^n=o(f^n), n \epsilon\mathbb{N} .

Примеры:

\underset {x\to 0}{o(x^2)+o(x^2)}=\underset{x\to 0}{o(x^2)}
\underset {x\to 0}{o(2x^5)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}
\underset {x\to 0}{o(x^2)\cdot o(x^3)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}.

Символ Ландау

Тест по теме «Символ Ландау»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «О большое и о малое»
  3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

Задачи, которые приводят к понятию производной

  1. Задача о скорости

    Пусть точка движется по прямой. S=S(t) — путь пройденый точкой за время t от начала движения. Путь пройденный точкой за время от t до t+\Delta t = S(t+\Delta t) - S(t) .
    graph2
    Средняя скорость: V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}
    Если движение точки — равномерное, то V_{cp} — постоянная.
    Если же движение неравномерное, то V_{cp} не меняется при изменении \Delta t .
    Определение:
    Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент t: V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t} .

  2. Задача о касательной

    Пусть функция f определена в \delta-окрестности точки x_0 и непрерывна в этой окрестности.
    test6
    Возьмем две точки на графике: M_0 (x_0;y_0) и M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x)) .
    Уравнение прямой, проходящей через точки M и M_0 имеет вид y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0), где \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0), \Delta x=x-x_0.
    \frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha
    Эту прямую называют секущей, а число k=\tan \alphaугловым коэффициентом секущей.
    \Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0
    Определение:
    Касательной кривой заданной уравнением y=f(x) в точке x_0 называют предельное положение секущей при \Delta x \to 0.
    Если существует \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0, то существует предельное положение секущей.
    Таким образом, если существует \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}, то прямая, проходящая через точку M_0 с угловым коэффициентом k_0 называется касательной к графику функции y=f(x) в точке x_0 .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки x_0 определены функции f,g и \alpha, такие, что имеют место соотношения f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0, то функцию f называют бесконечно малой функцией в сравнении с g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{o(g)}; f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))} .

Замечание:

Если \forall x \epsilon U_{\delta}(x_0): g(x)\neq 0, то \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x}=\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0 .

Примеры:

x^2=\underset{x\to \infty}{o(x^4)}, т.к. \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^4}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0

\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0: \sin x=\underset{x\to \infty}{o(x)}
\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\arctan x}{x}=0: \arctan x=\underset{x\to \infty}{o(x)}.

Определение:

  • В случае, когда в записи f=\underset{x\to x_0}{o(g)}   g — бесконечно малая функция, говорят, что fбесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем g, gбесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем f.
  • В случае, когда в записи \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=a, a<\infty, a\neq 0, f и g — бесконечно малые функции при x\to x_0, говорят, что f и g являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
  • В случае, когда в записи \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g^m(x)}=a, a<\infty, a\neq 0  g — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция f имеет m-й порядок малости относительно функции g.

Примеры:

x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0}x=0. x^2 — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
x^3\sin\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{o(x)}; т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0 (т.к. sin \frac{1}{x} — ограниченная функция). x^3 sin\frac{1}{x} — функция более высокого порядка малости, чем x;
\tan^2 x=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan^2 x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\tan x=0. \tan^2 x — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1. Функции \tan x и x являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^6 x}{x^6}=1. \tan^6 x имеет 6-й порядок малости относительно x.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература: