M1489

Для каких прямоугольников m\times n на клетчатой бумаге, в клетках которых расставлены нули и единицы, можно получить из любой расстановки любую другую, если разрешается изменять числа одновременно в каждой строке, каждом столбце и на каждой прямой, параллельной диагоналями клеток (в частности, в угловых клетках)?

Решение: это всегда возможно для прямоугольников m\times n , лишь если m и n не больше 3. поскольку операцию можно выполнять в обратном порядке, достаточно выяснить, для каких таблиц m\times n из любой расстановки можно получить таблицу из одних едениц.
Легко видеть, что для прямоугольников 1\times n , 2\times n и 3\times n заменами знаков можно получить таблицу из одних единиц: на рисунке 1 указан порядок, в котором нули, стоящие в некоторых клетках, можно заменить на единицы(цветные линии показывают какой именно — вертикальный или диагональный — «ход» следует делать).
С другой сторны, в прямоугольнике m\times n , где m и n не меньше 4, можно выделить фигуру из восьми клеток, показанных на рисунке 2 штриховкой; четность количества единиц не меняется в этих клетках при всех разрешенных преобразованиях — является, как говорят, инвариантом. Таким образом, если в одной из таких фигур стоит нечетное число единиц, то прийти к таблице заполненной единицами, невозможно.
Представляем читателям выяснить, образуют ли такие таблицы из 8 клеток полную систему инвариантов, также следует ли из четности количества единиц в каждой из них возможность преобразовать таблицу в состояние «все единицы», а заодно выяснить, сколько существует классов (неэквивалентных друг другу) таблиц относительно разрешенных в условии преобразований.
А.Галочкин

M1489

Геометрический смысл дифференциала

Проведем касательную l к графику функции y = f(x) в точке x, также рассмотрим точку пересечения касательной l с прямой x + \Delta x. Отрезок AM_{1} = \Delta x, а отрезок AM_{2} = \Delta y.

GeomSenseOfDiff

Из прямоугольного треугольника \triangle M_{1}AB получаем, что tg \alpha = \frac{AB}{\Delta x}, поэтому AB = tg \alpha \Delta x. Но нам известно, что {f}'(x) = tg \alpha \Rightarrow AB = {f}'(x)\Delta x. Сравнив результат с формулой A\Delta x = dy получаем, что dy = AB, то есть дифференциал функции y равен приращению ординаты касательной l к графику функции f(x) в этой точке, когда приращение аргумента равно \Delta x.

Тест:

Тест на знание и понимание геометрического смысла дифференциала.


Таблица лучших: Геометрический смысл дифференциала.

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Список литературы:

  1. Калинина Е. А. «Математика, которая мне нравится». 
  2. Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Дифференцируемые функции и дифференциал

Определение: Если функция f определена в окрестности точки x_{0} и f(x)-f(x_{0}) = A\Delta x + \Delta x\alpha(\Delta x), где \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0, а A — некоторая константа, то функцию f называют дифференцируемой в точке x_{0} и A\Delta x = df(x_{0}) называется дифференциалом функции f в точке x_{0}.

Определение: Если функция y = f(x) дифференцируема в любой точке x_{0} \in (a, b), то функция y называется дифференцируемой на промежутке (a, b).

Замечание: Если y = f(x) — дифференцируема на промежутке (a, b) и \exists {f}_{+}'(a) = \lim\limits_{x \to a+0} \frac{\Delta y}{x-a} и \exists {f}_{-}'(b) = \lim\limits_{x \to b-0} \frac{\Delta y}{x-b}, то функция y называется дифференцируемой на отрезке [a, b].

Критерий дифференцируемости функции

Формулировка:

Функция f дифференцируема в точке x_{0} тогда и только тогда, когда она имеет производную в точке x_{0}.

Доказательство:

Необходимость:
f(x) - дифференцируема в точке x_{0} \Rightarrow \exists A:\Delta f(x) = A\Delta x+\Delta x \alpha(\Delta x), где \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x)= 0 \Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{A\Delta x +\Delta x\alpha(\Delta x)}{\Delta x} =  \lim\limits_{\Delta x \to 0} A + \alpha(\Delta x) =  A\Rightarrow \exists {f}'(x_{0}) = A \Rightarrow dy =  {f}'(x_{0})\Delta x.

Достаточность:
\exists {f}'(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} - {f}'(x_{0}) =  \alpha (\Delta x), где \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha (\Delta x) = 0 \Rightarrow \Delta f(x) = {f}'(x_{0})\Delta x + \alpha (\Delta x)\Delta x, а это и означает, что функция f(x) — дифференцируема в точке x_{0}.

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.


Таблица лучших: Дифференциал и дифференцируемость

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (Часть 1, стр. 107-108.).
  2. Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Односторонние и бесконечные производные

Понятия односторонних и бесконечных производных вводятся аналогично понятиям односторонних и бесконечных пределов.

Определение: Если функция y = f(x), непрерывна слева в точке x_{0}, то есть \lim\limits_{x \to x_{0} - 0} f(x) = f(x_{0}) и \exists \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x}, то этот предел называют левой производной функции y в точке x_{0}.
Левая производна кратко записывается {f_{-}}'(x_{0}).

Определение: Если функция y = f(x), непрерывна справа в точке x_{0}, то есть \lim\limits_{x \to x_{0} + 0} f(x) = f(x_{0}) и \exists \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}, то этот предел называют правой производной функции y в точке x_{0}.
Правая производна кратко записывается {f_{+}}'(x_{0}).

Определение: Прямая проходящая через точку (x_{0}, f(x_{0})), с угловым коэффициентом {f_{-}}'(x_{0}), называется левой касательной к графику функции y в точке (x_{0}, f(x_{0})).

Определение: Прямая проходящая через точку (x_{0}, f(x_{0})), с угловым коэффициентом {f_{+}}'(x_{0}), называется правой касательной к графику функции y в точке (x_{0}, f(x_{0})).

Определение: Если функция y=f(x), непрерывна в точке x_{0} и \exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} = \pm \infty, тогда производная {f}'(x_{0}) называется бесконечной производной.

Замечание: Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси Oy. В случаях a и b эта производная равна, соответственно, +\infty и -\infty (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях c и d односторонние производные разнятся знаком.
svg

Тест:

Односторонние и бесконечные производные.

Тест проверки усвоения информации об односторонних и бесконечных производных.


Таблица лучших: Односторонние и бесконечные производные.

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 110-111.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Если функция y=f\left(x\right) имеет производную в точке x_{0}, значит \exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {f}'\left(x\right), тогда существует предельное положение секущей к графику функции в точке M_{0}\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right): y-y_{0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\left(x-x_{0}\right) \left(x \to x_{0}\right) это означает, что в точке M_{0} \exists l_{0}=k_{0}x + b_{0} — касательная к графику функции, причём k_{0}={f}'\left(x_{0}\right).

Иллюстративный материал.

Таким образом геометрический смысл производной — угловой коэффициент касательной к графику функции y = f\left(x\right) в точке M_{0}\left(x_{0},{f}\left(x_{0}\right)\right), а уравнение касательной l_{0} ={f}\left(x_{0}\right)+ {f}'\left(x_{0}\right)\left(x - x_{0}\right).

 

Пример:

Найдите уравнение касательной к графику функции y=e^{2x-3} в точке x_{0} = 5, а также угол наклона касательной в этой точке.
Решение:
Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид l={f}\left(x_{0}\right)+{f}'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right), причём {f}'\left(x_{0}\right)=\mathrm{tg}\alpha, где \alpha — угол наклона касательной.
Находим значение касательной в точке 5, получаем {f}'\left(x\right)=2e^{2x-3}, а в точке x_{0}=5: \, {f}'\left(5\right)=2e^{7} \Rightarrow l = e^{7}+2e^{7}\left(x-5\right) = -9e^{7}+2e^{7}x, \alpha = \mathrm{arctg}\left(2e^{7}\right).

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 109.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

 

Тест:

Тест на знание геометрического смысла производной.

Таблица лучших: Тест на знание геометрического смысла производной.

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных