Автор: Константин Берков

Если функции [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] дифференцируемы в точке [latex]x[/latex], то в этой точке также дифференцируемы следующие функции: [latex]\alpha f(x)\pm\beta g(x)[/latex], [latex]f(x)g(x)[/latex], [latex]\frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)[/latex];

Причём:

1. [latex]{[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)[/latex]([latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — некоторые константы);
2. [latex]{[f(x)g(x)]}’ = {f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x)[/latex];
3. [latex]{[\frac {f(x)}{g(x)}]}’ =\frac{{f}'(x)g(x) — f(x){g}'(x)}{[g(x)]^2} (g(x) \neq 0)[/latex];

Доказательство :

1. Достаточно доказательства для случая [latex]y(x) = \alpha f(x) + \beta g(x);[/latex]
   [latex]y(x) = {\alpha f(x) + \beta g(x)} \Rightarrow\Delta y=[/latex]
   [latex]=y(x + \Delta x) — y(x) = \alpha f(x + \Delta x) + \beta g(x+\Delta x) — \alpha f(x) — \beta g(x)=[/latex]
   [latex]=\alpha f(x+\Delta x) -\alpha f(x)+\beta g(x+\Delta x) — \beta g(x) =[/latex]
   [latex]=\alpha \Delta f(x) + \beta \Delta g(x) \Rightarrow[/latex] [latex]\frac{\Delta y}{\Delta x} =[/latex] [latex]=\frac{\alpha\Delta f(x)+\beta \Delta g(x)}{\Delta x}=[/latex]
   [latex]\alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} +\beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} \underset{propetiesoflimits}{\Rightarrow} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =[/latex] [latex]={y}'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} = \alpha{f}'(x)+\beta{g}'(x)[/latex]
   [latex]\Rightarrow[/latex] В общем случае: [latex]{[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)[/latex];
2. [latex]y(x)=f(x)g(x) \Rightarrow \Delta y = y(x + \Delta x) — y(x) =[/latex]
   [latex]= f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) — f(x)g(x) = [f(x) + \Delta f(x)][g(x) + \Delta g(x)] — f(x)g(x) =[/latex]
   [latex]= \Delta f(x)g(x) + \Delta g(x)f(x) + \Delta f(x) \Delta g(x) \Rightarrow[/latex]
   [latex]\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x) + \frac{\Delta g(x)}{\Delta x}f(x) + \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Delta g[/latex]
   При переходе к пределам получим следующее:
   [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = {f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)+{f}'(x)0([/latex]в силу непрерывности дифференцируемой функции [latex]g(x), \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta g(x)=0);[/latex]
   [latex]\Rightarrow {y}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)[/latex], что и требовалось доказать;
3. [latex]y = \frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)\Rightarrow[/latex]
   [latex]\Delta y = \frac{f(x+\Delta x)}{g(x + \Delta x)} — \frac{f(x)}{g(x)}=[/latex]
   [latex]= \frac{f(x) + \Delta f(x)}{g(x) + \Delta g(x)}- \frac{f(x)}{g(x)} =[/latex]
   [latex]\frac{\Delta f(x)g(x) + f(x)g(x) — f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}=[/latex]
   [latex]\frac{\Delta f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}[/latex]
   [latex]\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{\Delta f(x)g(x)}{\Delta x} — \frac{\Delta g(x)f(x)}{{\Delta x}}}{[g(x)]^2+[\Delta g(x)]^2}[/latex]
   Перейдя к пределам получим:
   [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = \frac{{f}'(x)g(x) — {g}'(x)f(x)}{[g(x)]^2}[/latex], что и требовалось доказать.

Замечание: Из определения дифференциала и формул дифференцирования 1,2 и 3 следует, что:

• [latex]d(\alpha f+\beta g)=\alpha df + \beta dg;[/latex]
  Другими словами оператор дифференцирования является линейным оператором.
• [latex]d(fg) = gdf + fdg;[/latex]
• [latex]d(\frac{f}{g}), g \neq 0 = \frac{gdf — fdg}{g^2};[/latex]

Примеры:

Тест:

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Простой тест для проверки усвоения правил дифференцирования.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Если чувствуете себя неуверенно в этой теме перечитайте материал.

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 4

   Установите соответствие между видом функции состоящей из двух дифференцируемых функций и формулой дифференцирования.

   Элементы сортировки

   • $$\alpha {f}'(x)$$
   • $${f}'(x) \pm {g}'(x)$$
   • $${f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x)$$
   • $$\frac{{f}'(x)g(x) - f(x){g}'(x)}{[g(x)]^{2}}$$

   • $$\alpha f(x)$$

   • $$f(x) \pm g(x)$$

   • $$f(x)g(x)$$

   • $$\frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 3

   Выберите правильные тождества.

   • $${(\frac{\sin x}{x})}' = \frac{\cos x(x) - \sin x}{x^{2}}$$
   • $${(5x^{\frac{2}{3}})}' = 5x^{\frac{-1}{3}}$$
   • $${(\sin x \cos x)}' = \cos (2x)$$
   • $${(3\cos (-3x))}' = -9\sin(3x)$$
   • $${(\frac{1}{x} + \ln x)}' = \frac{x+1}{x^{2}}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 4

   
   Установите соответствие между функциями и их дифференциалами в окрестности точки $x_{0}=2$.

   Элементы сортировки

   • $$df(2)=(2e^{2x}x^{2}+2xe^{2x})(x-2)$$
   • $$df(2)=3(x-2)(\frac{2-2\ln x}{4x^{2}})$$
   • $$df(2)=(x-2)[3-\frac{8}{x^3}]$$
   • $$df(2)=[{3x^2-6x^2-8x}{x^4}](x-2)$$

   • $$f(x)=e^{2x}x^{2}$$

   • $$f(x)=\frac{3\ln x}{2x}$$

   • $$f(x)=3x+\frac{4}{x^2}$$

   • $$f(x)=\frac{3x+4}{x^2}$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Список литературы:

• Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 111-112.
• Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Формулировка: Если функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности [latex]U\left(x_{0}\right)[/latex], то она непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].

Доказательство: Пусть функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] — имеет производную в точке [latex]x_{0}\Rightarrow[/latex];[latex]\Rightarrow \exists \lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=[/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = [/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)[/latex], где [latex]\alpha \left(\Delta x\right) = \underset{\Delta x \to 0}{o\left(\Delta x\right)}[/latex][latex]\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) =[/latex][latex] \left(x-x_{0}\right)\left({f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)\right)\Rightarrow[/latex][latex] \lim\limits_{x\to x_{0}} f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = 0\Rightarrow[/latex] функция [latex]f\left(x\right)[/latex] — непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].

Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.

Контр-пример:
[latex]y = |x|, y \in C_{\left(-\infty; +\infty\right)}[/latex]
[latex]\forall x_{0} \in \mathbb{R} \lim\limits_{x \to x_{0}} |x| = |x_{0}|[/latex]

При [latex]x_{0} = 0[/latex] и [latex]\Delta x > 0[/latex], то получим [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 \neq \lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1[/latex], где [latex]\Delta x < 0[/latex], а значит функция [latex]y = |x|[/latex] — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.

Список литературы:

• Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
• Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Непрерывность в точке и существование производной

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 5

   Какие из ниже-представленных функций являются дифференцируемыми в точке 0?

   • $$x^2$$
   • $$|x|$$
   • $$\frac{1}{x}$$
   • $$4x^3$$
   • $$e^x$$
   • $$\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
   • $$\cos x$$
   • $$\frac{1}{1+x^2}$$
   • $$\ln\left(x-1\right)$$
   Правильно 5 / 5Баллы

   Отлично!

   Неправильно / 5 Баллы

   Ай-ай, будьте внимательней.
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 7

   Установите соответствие между функциями и точками, в которых они дифференцируемы/не дифференцируемы.

   Элементы сортировки

   • не дифференцируема в точке 0
   • не дифференцируема в точке -1
   • дифференцируема на всей области определения
   • не является дифференцируемой

   • $$sin\left(\frac{1}{x}\right)$$

   • $$\frac{1}{1+x^5}$$

   • $$e^{x^2}$$

   • Функция Дирихле, принимающая значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 4

   Что даёт нам дифференцируемость в точке, в контексте данного материала?

   • Если функция дифференцируема в точке, то по необходимому условию дифференцируемости в точке она обязательно (непрерывна, не прерывна, Не прерывна, Непрерывна) в этой точке. Достаточно ли непрерывности в точке, для того что бы говорить о наличии производной в этой точке? (Не достаточно, недостаточно, Недостаточно, не достаточно, нет, Нет).
   Правильно
   

   Неправильно