Лемма Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства \mathbb{R}^n можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество F \subset \mathbb{R}^n имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество F является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку F еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, F компактно. Для каждой точки x \in F построим такую окрестность U_x, в которой нет других точек из F, кроме x (если бы для какой-то точки x такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для F). Тогда семейство \left\{U_x \right\}_{x \in F} образует открытое покрытие компактного множества F. Пользуясь компактностью F, выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества E. Но это противоречит тому, что множество E бесконечно.\square
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству E.

Литература:

Критерий компактности в n-мерном пространстве (Теорема Гейне – Бореля)

Теорема Гейне – Бореля. Чтобы множество K \subset \mathbb{R}^n являлось компактным, необходимо и достаточно, чтобы K было ограниченным и замкнутым.

Доказательство. Достаточность. Пусть K замкнуто и ограничено. Тогда найдется сегмент I \subset \mathbb{R}^n, содержащий K. В силу леммы Гейне – Бореля, этот сегмент I компактен. Поэтому, в силу свойств компактных множеств, компактно также его замкнутое подмножество K. Необходимость. Пусть K —  компакт. Докажем, что данное множество ограничено. Обозначим через B_s открытый шар с центром в точке 0 радиуса s. Тогда последовательность шаров\left\{B_s\right\}^{\infty}_{s=1} покрывает все пространство \mathbb{R}^n, а следовательно, и множество K. Так как K компактно, следовательно, оно может быть покрыто конечным набором шаров B_s. Среди всех этих шаров выберем шар с наибольшим радиусом. Пусть это шар B^{\ast}. Тогда ясно, что K \subset B^{\ast}, так что K ограничено. Покажем теперь, замкнутость множества K. Для этого достаточно показать, что любая точка y \notin K, не будет предельной для K. Итак, пусть y \notin K. Рассмотрим множества G_k = c\overline{B}(y, \frac{1}{k}) (k = 1,2,...). Так как замкнутый шар \overline{B}(y, \frac{1}{k}) – множество замкнутое, следовательно его дополнение G_k открыто. Кроме того, ясно, что \bigcup^{\infty}_{k=1}G_k = \mathbb{R}^n \setminus \left\{y\right\}. Поскольку y \notin K, то совокупность множеств G_k (k = 1,2,...) образует открытое покрытие множества K. Пользуясь компактностью K, выберем из этого покрытия конечное подпокрытие \left\{G_{k_1},...,G_{k_s}\right\} и положим \rho = \frac{1}{max\left\{k_1,...,k_s\right\}} > 0. Отсюда следует, что шар B(y,\rho) не имеет общих точек с множеством K. Получаем, что точка y не будет предельной для K\square

Литература:

Лемма Гейне-Бореля

Лемма (Гейне – Бореля). Произвольный сегмент в \mathbb{R}^n является компактным множеством .

Доказательство. Обозначим через I = [a^1,b^1;...;a^n,b^n] – сегмент в \mathbb{R}^n. Докажем от противного. Пусть данный сегмент не является компактным. Тогда найдется такое открытое покрытие \Omega сегмента I, что никакое конечное подсемейство множеств из \Omega не покрывает I. Все стороны [a^i,b^i] сегмента I разделим пополам. Таким образом данный сегмент можно разбить на 2^n сегментов. По крайней мере один из них не покрывается конечным подсемейством множеств из \Omega. В противном случае, исходный сегмент I также мог бы быть покрытым конечным набором множеств из \Omega, что приводит к противоречию. Обозначим через I_1 тот из подсегментов I, который не может быть покрыт конечным набором множеств из \Omega. Каждую из сторон сегмента I_1 опять разделим пополам и среди полученных 2^n сегментов, на которые окажется разбитым I_1, возьмем тот, который не покрывается конечным подсемейством множеств из \Omega. Обозначим его через I_2 и так далее. Продолжая подобные действия, получим последовательность вложенных сегментов I \supset I_1 \supset I_2 \supset ... \supset I_{\nu} \supset ..., таких, что любой из сегментов I_{\nu} не может быть покрыт каким-либо конечным подсемейством множеств из \Omega. Заметим также, что diam \> I_{\nu} = \frac{diam \> I}{2^{\nu}} \mapsto 0 (\nu \mapsto \infty). Применив к полученной последовательности I_{\nu} лемму о вложенных сегментах, найдем точку x_0 \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...). Поскольку x_0 \in I, а I покрыт семейством \Omega открытых множеств, то найдется такое открытое множество F \in \Omega, что x_0 \in F. Поскольку множество F открытое и точка x_0 \in F, то эта точка внутренняя в F. Это означает, что найдется такая окрестность B(x_0,\delta) точки x_0, которая целиком содержится во множестве F. Но поскольку диаметры сегментов I_{\nu} стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty, то, начиная с какого-то номера \nu_0, они будут меньшими, чем \delta, то есть. diam \> I_{\nu} < \delta (\nu \geq \nu_0). Учитывая, что x_0 \in I_{\nu}, получаем, что I_{\nu} \subset B(x_0,\delta), а значит, I_{\nu} \subset F. Итак, мы получили, что при \nu \geq \nu_0 сегмент I_{\nu} содержится во множестве F. Но это противоречит выбору сегментов I_{\nu}, поскольку они были выбраны так, что никакое конечное подсемейство множеств из \Omega не покрывает I_{\nu}. Полученное противоречие завершает доказательство. \square

Литература:

Компактные множества

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Пусть множество E \subset \mathbb{R}^n. Семейство открытых множеств \left\{G_{\alpha}\right\} называется открытым покрытием множества E, если каждая точка x \in E принадлежит хотя бы одному из множеств G_{\alpha}, т. е. если E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}.

Определение. Множество E \subset \mathbb{R}^n называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество E. Это подсемейство называется конечным подпокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть E \subset \mathbb{R}^n. Диаметром множества E называется число diam \> E = sup_{x,y \in E} \left | x - y \right |, т. е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из E. Например, если E = \left [a^1,b^1;...;a^n,b^n \right ]n-мерный сегмент, то, очевидно, diam \> E = |b-a|, где a = (a^1,...,a^n), b = (b^1,...,b^n).

Лемма (о вложенных сегментах). Пусть  \left\{I_{\nu}\right\} – последовательность вложенных сегментов из  \mathbb{R}^n , т. е. I_1 \supset I_2 \supset...\supset I_{\nu} \supset..., диаметры которых стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty. Тогда существует, и притом единственная, точка x_0, принадлежащая всем этим сегментам.
Доказательство. Пусть I_{\nu} = \left [a^1_{\nu},b^1_{\nu};...;a^n{\nu},b^n_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...). При каждом фиксированном i = 1,...,n последовательность одномерных отрезков  \left [a^i_{\nu},b^i_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...) состоит из вложенных друг в друга отрезков, т. е. [a^i_1,b^i_1] \subset [a^i_2,b^i_2] \subset ... \subset [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] \subset ..., и длины этих отрезков стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty. По лемме Кантора, для зафиксированного i найдется число x^i_0, такое, что x^i_0 \in [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] (\nu = 1,2,...), т. е. a^i_{\nu} \leq x^i_0 \leq b^i_{\nu} (\nu = 1,2,...). Но тогда точка x_0 = (x^1_0,...,x^n_0), очевидно, принадлежит всем I_{\nu}. Двух различных точек, принадлежащих всем I_{\nu} одновременно, быть не может. Действительно, если {x}',{x}'' \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...), то |{x}'-{x}''| \leq diam \> I_{\nu}. По условию правая часть стремится к нулю при \nu \mapsto \infty, так что {x}'={x}''.

Литература:

Компактные множества

Тест по теме «Компактные множества»

Таблица лучших: Компактные множества

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Примеры замкнутых множеств

  1. \varnothing замкнуто (и, в то же время, открыто).
  2. Отрезок \left [a,b \right ] \subset \mathbb{R} на вещественной прямой замкнут в стандартной топологии, поскольку его дополнение открыто.
  3. Множество \mathbb{Q} \bigcap \left [0,1 \right ] будет замкнутым в пространстве рациональных чисел \mathbb{Q}, но не будет замкнутым в пространстве вещественных чисел \mathbb{R}.
  4. Произвольный замкнутый шар B(x_0,r) = \left\{x : |x - x_0| \leq r \right\} будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что какую бы мы ни взяли точку x, не принадлежащую B(x_0,r), она не будет являться предельной для этого шара, то есть. найдется такая окрестность B(x,\rho), в которой нет ни одной точки данного шара (Достаточно взять \rho \leq |x-x_0|-r).
  5. Произвольный сегмент I \equiv \left [a_1,b_1;...;a_n,b_n \right ] будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что окрестность произвольной точки x, не принадлежащей I, не будет содержать точек из I. Действительно, так как x \notin I, то найдется такое j, что x_j \notin \left [a_j,b_j \right ]. Пусть, к примеру, x_j < a_j. Легко видеть, что шар B(x,\rho), где 0 < \rho \leq a_j - x_j, не имеет общих точек с I. Следовательно, I – замкнутое множество.
  6. Рассмотрим множество E \equiv \left\{(x,y) : y = sin \frac{1}{x}, x \neq 0\right\}. Отрезок  \left [-1,1 \right ] оси ординат целиком состоит из предельных точек множества E, но ни одна из точек этого отрезка не принадлежит E. Поэтому множество E не является замкнутым.

Литература: