M1437

Докажите, что если последовательность удовлетворяет следующим условиям: Читать далее «M1437»

Дифференцируемость сложной функции

Теорема (о дифференцировании сложной функции)

Если функции z=f(y) и y=\varphi(x) дифференцируемы соответственно в точках y_0 и x_0, где y_0=\varphi(x_0), то z=f(\varphi(x)) — дифференцируема в точке x_0, причём z'(x_0)=f'(y_0)\cdot \varphi'(x_0)=f'(\varphi(x_0)) \cdot \varphi'(x_0).

Доказательство

Т.к. функции f и \varphi непрерывны, то z(x)=f(\varphi(x)) — непрерывны в точке x_0 \Rightarrow z определена в u_\delta (x_0)

|\Delta x|<\delta

\Delta y=\varphi(x_0+\Delta x) - \varphi(x_0)
\Delta z=z(x_0+\Delta x)-z(x_0)

\Delta z=f(y)=f(\varphi(x))
\Delta z=f'(y_0) \cdot \Delta y + \Delta y \cdot \alpha (\Delta y), где \lim\limits_{\Delta y \to 0} \alpha (\Delta y)=0
\frac{\Delta z}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f'(y_0) \Delta y + \Delta y \cdot \alpha (\Delta y)}{\Delta x}=
=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(f'(y_0)\cdot \underset{\underset{\varphi'(x_0)}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x}}} + \underset{\underset{0}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \alpha (\Delta x)}})=f'(y_0) \cdot \varphi'(x_0)
Теорема доказана.

Читать далее «Дифференцируемость сложной функции»

Дифференцируемость обратной функции

Теорема (о дифференцируемости обратной функции)

Если y=f(x) непрерывна и строго монотонна на \Delta=[x_0-\delta;x_0+\delta] (\delta>0) и если \exists f'(x_0) \neq 0 \Rightarrow x=\varphi(y) (обратное к y=f(x)) дифференцируемо в точке y_0=f(x_0), причём \varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}

Доказательство:

x_0-\delta \rightarrow f(x_0-\delta)=\alpha
x_0+\delta \rightarrow f(x_0+\delta)=\beta
По теореме об обратной функции функция f имеет обратную x=\varphi(y), y\epsilon [\alpha;\beta], \varphi(x) — строго монотонна и непрерывна.
y'(y_0)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=
\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x_0)}

Примеры

1) Доказать, что:

(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, |x|<1
y=arcsin(x), график
График функции y=arcsinx. Обратите внимание, что масштабы по осям координат отличаются.

Решение:

y=\arcsin x, |y|<\frac{\pi}{2}
x=\sin y=\varphi(y)
\varphi'(y)=\cos y
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y} =
\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

2) Доказать, что:

( \textrm{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}, x \epsilon \mathbb{R}
y=arctg(x), график

Решение:

y=\textrm{arctg} x
x=\textrm{tg} y=\varphi(y)
\varphi(y)=\frac{1}{\cos^2 y}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}=
\cos^2 y=\frac{1}{1+\textrm{tg}^2 y}=\frac{1}{1+x^2}

Список литературы:

Тест: дифференцируемость обратной функции

Данный тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы ориентируетесь в материале темы «дифференцируемость обратной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.


Таблица лидеров показать