Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства

Теоретическая справка

Определение:
Пусть A \subset E, A\ne 0. Тогда ортогональным дополнением к множеству A называется множество:
A^\perp = \{x\in {E} | \forall a\in A: (x,a) = 0\}.
Britkariu_Praktika
Свойства ортогонального дополнения:

  1. \{0\}^\perp = {E};
  2. {E}^\perp = \{0\};
  3. ({L}^\perp)^\perp = {L}, \forall{L}\subseteq{E};
  4. ({L}_1 + {L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp}\cap{L}_{2}^{\perp}, \forall{L}_{1},{L}_{2}\subseteq{E};
  5. ({L}_1\cap{L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp} + {L}_{2}^{\perp}.

Пример

Найти базис ортогонального дополнения {L}^{\perp} подпространства {L}, натянутого на векторы a_{1}, a_{2}, a_{3}.
a_1 = (1,0,2,1)
a_2 = (2,1,2,3)
a_3 = (0,1,-2,1)
Найдем ранг матрицы L:
L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}
Домножим первую строчку матрицы на -2 и прибавим ко второй. Получим:
L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}
Вторая и третья строки матрицы совпадают, а значит одну можно исключить. Получим, что ранг системы L равен 2. Следовательно, системы L— линейно зависимая.
L<a> (система состоит из двух векторов).
{L}^{\perp} = \{b_1,b_2\}
(a_1,x) = 0, (a_2,x) = 0
Составим матрицу из векторов a_1, a_2.
\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}
(домножим первую строчку матрицы на -2 и прибавим ко второй)
\left\{\begin{matrix} x_1 + 2x_3 + x_4& = &0 \\ x_2 - 2x_3 + x_4& = &0 \end{matrix}\right.
Найдем общее решение системы:
\left\{\begin{matrix} x_1& = &-2x_3 - x_4 \\ x_3& = &\frac{x_2 + x_4}{2} \end{matrix}\right.
x = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 2x_3 - x_4 \\ x_2 \\ \frac{x_2 + x_4}{2}\\ x_4 \\\end{pmatrix}
Найдем ФСР (фундаментальную систему решений) по формуле:
ФСР  = n - r , где n— число неизвестных переменных, r— ранг матрицы.
ФСР: 4 - 2 = 2.
Получили два линейно независимых решения системы. Придадим переменным x_3, x_4 произвольные значения:

ФСР x_1 x_2 x_3 x_4
b_1 2 -2 -1 0
b_2 1 1 0 -1

Получили ортогональное дополнение {L}^{\perp} = <b_1, b_2> = <(2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)>.

Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства

Тест составлен для проверки знаний по теме «Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства»

Литература:

Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Кольцо

Пусть R— произвольное множество, R\ne0,  "+",  "\cdot"— бинарные алгебраические операции  на R.
(R,+,\cdot) называется кольцом, если выполнено:

  1. (R,+)— абелева группа (аддитивная группа кольца);
  2. Для любых (R,+,\cdot) \in R выполняется:
    1. a(b + c) = ab + ac;
    2. (b + c)a = ba + ca.

Если операция "\cdot" коммутативна, то кольцо называется коммутативным. В противном случае- некоммутативным.
Операции умножения и сложения в любом кольце обладают некоторыми свойствами.
Операция сложения:
\forall a,b,c \in R

  1. Коммутативна: a + b = b + a;
  2. Ассоциативна: a + (b + c) = (a + b) + c.

Операция умножения:
\forall a,b,c \in R

  1. Коммутативна: ab = ba;
  2. Ассоциативна: a(bc) = (ab)c.

Операции сложения и умножения связаны законом диструбтивности:
(a + b)c = ac + ab.

Примеры:

  1. (Z,+,\cdot)— кольцо целых чисел;
  2. (Q,+,\cdot)— кольцо рациональных чисел;
  3. (R,+,\cdot)— кольцо вещественных чисел;
  4. (Q[\sqrt{2}],+,\cdot), Q[\sqrt{2}] = \{a+b\sqrt{2 } |a,b \in Q\}.

Проверим, будет ли на множестве (Q[\sqrt{2}],+,\cdot) кольцо.
(a + b\sqrt{2}) = (c + d\sqrt{2}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{2}\in Q [ \sqrt{2}]
Значит (Q[\sqrt{2}], +, \cdot) является кольцом.

Простейшие следствия из аксиом

  1. \forall a \in R  a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0, a\cdot0 = a(0 + 0) =  a\cdot0 + a\cdot0 |-(a\cdot0) =  a\cdot0 + ( - a\cdot0) =  (a\cdot0 + a\cdot0) + (-a\cdot0) =a\cdot0 + 0 =  a\cdot0 = 0
  2.  

  3. \forall a,b \in R (-a)b = -ab (-a)b + ab = ((-a) + a)b = 0 \cdot b = 0
  4.  

  5. d(a - b) = da - db d(a - b) = d(a + (-b)) = da + d(-b) = da + (-d)b = da - db
  6.  

  7. (a - b)d = ad - bd (a - b)c = (a + (-b))c = ac + (-b)c = ac + (-(bc)) = ac - bc
  8.  

  9. Если имеет единичный элемент 1, то \forall a \in R a \cdot 1 = 1 \cdot a = a.

Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Этот тест составлен для проверки знаний по теме: «Кольцо. Простейшие следствия из аксиом».

Литература: