Для функции, непрерывной на отрезке по первой теореме Вейерштрасса существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.
Функция $latex f(x)$ принимает наибольшее значение $latex max$ на отрезке $latex [a;b]$ в точке $latex x_{0}$, если $latex x_{0}\epsilon [a;b]$ и $latex \forall x\epsilon [a;b]$: $latex f(x_{0})> f(x).$
Аналогично функция $latex f(x)$ принимает наименьшее значение $latex min$ на отрезке $latex [a;b]$ в точке $latex x_{1}$, если $latex x_{1}\epsilon [a;b]$ и $latex \forall x\epsilon [a;b]$: $latex f(x_{1})< f(x).$
Примеры:
1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции $latex f(x)=x^{2}-4x+6$ на сегменте $latex [-3;10]$.
Решение:
Найдем производную функции $latex {f}'(x)=2x-4$. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $latex {f}'(x)=2x-4=0$ $latex \Rightarrow$ $latex x=2$. Значение $latex x=2$ принадлежит сегменту $latex [-3;10]$. Находим значения функции в полученной стационарной точке и на концах промежутка:
$latex f(2)=4-8+6=2$;
$latex f(-3)=9+12+6=27$;
$latex f(10)=100-40+6=66$.
Таким образом:
$latex f(x)_{min_{[0;5]}}=f(2)=2$;
$latex f(x)_{max_{[0;5]}}=f(10)=66$.
2.Найти отношение радиуса основания к высоте цилиндра $latex h$, если при заданном объеме площадь полной поверхности $latex S$ является наименьшей.
Решение:
Пусть $latex V$ — фиксированный объем цилиндра, площадь полной поверхности $latex S=2\pi x^{2}+2\pi hx$, тогда $latex V=S_{1}\times h=\pi x^{2}h$, где $latex S_{1}$ — площадь основания цилиндра $latex \Rightarrow$ $latex h=\frac{V}{\pi x^{2}}$.
Вывод: цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т.е в случае, когда осевое сечение — квадрат.
Список литературы:
Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка $latex x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $latex f(x)$, если выполняется условие: [latex] \exists U_{\delta }(x_{0}) :[/latex][latex] \forall x\in U_{\delta }(x_{0}) f(x_{0})\geq[/latex][latex] f(x).[/latex]
Аналогично точка $latex x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $latex f(x)$ , если выполняется условие: [latex] \exists U_{\delta }(x_{0}):[/latex][latex]\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) f(x_{0})\leq [/latex][latex]f(x).[/latex]
Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.
Теорема (необходимое условие экстремума)
Если точка $latex x_{0}$ — точка экстремума функции $latex f(x)$, то она критическая.
Доказательство
По условию точка $latex x_{0}$ — точка экстремума функции $latex f(x)$ $latex \Rightarrow $ по теореме Ферма производная $latex {f}'(x_{0})=0$ $latex \Rightarrow $ точка $latex x_{0}$ является критической.
Пример:
Найти экстремум функции $latex f(x)=x^{3}-$ $latex 6x^{2}+9x-4$.
Найдем производную этой функции:$latex {f}’=3x^{2}-12x+9$ $latex \Rightarrow $ критические точки задаются уравнением $latex 3x^{2}-12x+9 =0$. Корни этого уравнения $latex x_{1}=3$ и $latex x_{2}=1$.
Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: $latex f(3)=27-$ $latex 54+27-4=-4$ и $latex f(1)=1-6+9-4=0$ $latex \Rightarrow $ в точке $latex x_{1}=3$ функция имеет минимум, равный -4, а в точке $latex x_{2}=1$ функция имеет максимум, равный 0.
Замечания:
Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Пример:
Рассмотрим функцию $latex f(x)=x^{3}$. Построим график этой функции:
Производная данной функции в точке $latex x_{0}=0$ $latex {f}'(0)=0$ $latex \Rightarrow$ $latex x_{0}$ по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.
Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)
Пусть функция $latex f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $latex x_{0}$, кроме, быть может, самой точки $latex x_{0}$ и непрерывна в этой точке. Тогда:
Если производная $latex {f}’$ меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку $latex x_{0}$: $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)<$ $latex 0$ и $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)> $ $latex 0$, то $latex x_{0}$ — точка строго минимума функции $latex f(x).$
Если производная $latex {f}’$ меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку $latex x_{0}$: $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)>$ $latex 0$ и $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)< $ $latex 0$, то $latex x_{0}$ — точка строго максимума функции $latex f(x).$
Доказательство
Пусть, например, $latex {f}’$ меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку $latex x_{0}$ на сегменте $latex \left [ x;x_{0} \right ].$ Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: $latex f(x)-f(x_{0})$ $latex ={f}'(\xi)(x-x_{0})$, $latex \xi \in (x;x_{0})$. Поскольку при переходе через точку $latex x_{0}$ функция меняет знак с «-» на «+», то $latex {f}'(\xi)<0$ и $latex x< x_{0}$, то $latex x- x_{0}<0$ $latex f(x)-f(x_{0})>0.$
Аналогично рассмотрим сегмент $latex \left [ x_{0};x \right ]$, получим
$latex f(x)-f(x_{0})>0$ $latex \Rightarrow$ $latex f(x_{0})< f(x)$ $latex \Rightarrow$ $latex x_{0}$ — точка строгого минимума функции.
Замечания:
Если $latex x_{0}$ — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная $latex {f}’ (x) $ меняет знак при переходе через точку $latex x_{0}.$
Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)
Пусть дана функция $latex f(x)$, она определена в некоторой окрестности точки $latex x_{0} $, ее первая производная $latex {f}'(x_{0})=0$ и пусть $latex \exists {f}»(x_{0})$, тогда:
Если $latex {f}»(x_{0})>0$, то точка $latex x_{0}$ — точка строгого минимума;
Если $latex {f}»(x_{0})<0$, то точка $latex x_{0}$ — точка строгого максимума.
Доказательство
Докажем теорему для первого случая, когда $latex {f}»(x_{0})>0$. По скольку $latex {f}»(x_{0})$ непрерывна, то на достаточно малом интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta)$, т.к $latex {f}»(x_{0})>0$, то $latex {f}'(x_{0})$ возрастает в этом интервале. $latex {f}'(x_{0})=0$, значит $latex {f}'(x_{0})<0$ на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ и $latex {f}'(x_{0})>0$ на интервале $latex (x_{0} ;x_{0}+\delta)$.
Таким образом функция $latex f(x)$ убывает на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ и возрастает на интервале $latex (x_{0} ;x_{0}+\delta)$ $latex \Rightarrow$ по первому достаточному условию экстремума функция в точке $latex x_{0}$ имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.
Замечания:
Если $latex {f}'(x)=0$ и $latex {f}»(x)=0$, то функция $latex f(x)$ может и не иметь экстремум в точке $latex x_{0}.$
Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)
Пусть функция $latex f(x) $ определена в некоторой окрестности точки $latex x_{0} $, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть $latex \exists f^{(n)}(x_{0})$, $latex n> 2$ и [latex] {f}'(x_{0})={f}»(x_{0})=…[/latex][latex]=f^{(n-1)}(x_{0})=0[/latex], [latex] f^{(n)}(x_{0})\neq 0.[/latex] Тогда:
Если $latex n=2k$ (т.е $latex n$ — четное), то $latex x_{0}$ — точка экстремума:
если $latex f^{(n)}(x_{0})<0$, то $latex x_{0}$ — точка локального максимума;
если $latex f^{(n)}(x_{0})>0$, то $latex x_{0}$ — точка локального минимума;
Если $latex n=2k+1$ (т.е $latex n$ — нечетное), то $latex x_{0}$ — не является точкой экстремума.
Доказательство
Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки $latex x_{0}$ с остатком в форме Пеано: $latex f(x)=f(x_{0})+ $ $latex \frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+… +$ $latex \frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+$ $latex \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $latex o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}$.
По скольку все производные до $latex (n-1) $ порядка включительно равны нулю получим: [latex] f(x)-f(x_{0})=[/latex][latex]\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+[/latex][latex]o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.[/latex] Запишем полученное выражение в виде: [latex] f(x)-f(x_{0})=[/latex][latex]\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-[/latex][latex]x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ][/latex]. Выражение $latex [1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1$. Пусть $latex n=2k$ $latex \Rightarrow$ $latex (x-x_{0}) ^{n}> 0$, [latex] \text{sign}(f(x)-f(x_{0}))=[/latex] [latex] \text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n})[/latex]. Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку $latex x_{0}$ зависит от четности $latex n$. Последний факт и доказывает теорему.
Список литературы:
В.А.Ильин, Э. Г. Позняк «Основы математического анализа» (часть 1) 4-е издание, 1982, стр. 295;
Лысенко З. М. Конспект по математическому анализу.
Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.