Теорема о непрерывности обратной функции

Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если f\in C[a;b] и f строго возрастает на I = [a;b], то на E = [f(a),f(b)] определена функция x=g(y), которая будет обратная к f, непрерывна на [f(a), f(b)] и будет строго возрастать на [a;b].

Если f\in C[a;b] и f строго убывает на [a;b], то на [f(b), f(a)] определена функция x=g(y), которая будет обратная к f, непрерывна на [f(b), f(a)] и будет строго убывать на [a;b].

Доказательство:

Предположим, что функция f строго возрастает на отрезке I.
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений E непрерывной функции f тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции f для каждого y\in E существует единственная точка x\in I такая, что f(x)=y.
Следовательно для функции f существует обратная функция f^{-1} определенная на отрезке E и с множеством значений I.

Покажем, что f^{-1} строго возрастает на E.

Пусть y_{1} и y_{2} — две произвольные точки из E, такие, что y_{1}<y_{2} и прообразами этих точек будут точки x_{1} и x_{2}. f^{-1}(y_{1})=x_{1} и f^{-1}(y_{2})=x_{2}.

Поскольку f — строго возрастающая функция, то неравенство y_{1}=f(x_{1})<f(x_{2})=y_{2} возможно тогда и только тогда, когда x_{1}<x_{2} или, что то же самое, когда f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2}).

В силу произвольности y_{1} < y_{2} делаем вывод, что функция f^{-1} — строго возрастает на множестве E.

Для случая, когда f строго убывает теорема доказывается аналогично.

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Таблица эквивалентных

Таблица эквивалентных

Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые.  Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида [\frac{0}{0}]) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базыx\rightarrow 0  в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу x\rightarrow 0, для простоты записи  будем писать знак \sim вместо _{x\rightarrow 0}^{\sim}\textrm{}.

sinx \sim x e^{x}-1\sim x
tgx\sim x a^{x}-1\sim xlna
arcsinx\sim x ln(1+x)\sim x
arctgx\sim x (1+x)^{\alpha }-1\sim \alpha x
shx\sim x 1-cosx\sim \frac{x^{2}}{2}

Докажем некоторые утверждения:

1)    lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{x}{arcsinx}}=lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{siny}{y}} =1

2)  lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{\frac{x}{cosx}}=\frac{lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}}{lim_{x\rightarrow 0}cosx}=\frac{1}{1}=1

3)  lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^{2}/2}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}/2}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{2(\frac{x}{2})^{2}}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=1\cdot 1=1

4) lim_{x\rightarrow 0}\frac{log_{a}(1+x)}{\frac{x}{lna}}=lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot \frac{1}{x}log_{a}(1+x)=lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot log_{a}(1+x)^{\frac{1}{x}}=lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot \frac{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{lna}=lim_{x\rightarrow 0}ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=ln\; lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=ln\; e=1

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Эквивалентные функции

Определение :
Если \exists\dot{U}_{\delta }(x_{0})в которой определены f,g  и h:f(x)=g(x)h(x),
причём lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=1\Rightarrow f и g— эквивалентные при x\rightarrow x_{0} и пишут f_{x\rightarrow x_{0}}\sim g
lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)=1
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие при x\rightarrow x_{0}

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые  \alpha  и \beta были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было lim\frac{\beta }{\alpha }=1
Положив  \beta-\alpha =\gamma, будем иметь  \frac{\beta }{\alpha }-1=\frac{\gamma }{\alpha }
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если   \frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1 , то \frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0  , то есть\gamma есть бесконечно малая высшего порядка, чем  \alpha и  \beta \sim \alpha . Обратно, если дано, что \beta \sim \alpha , то \frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0 , а тогда  \frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1.
С помощью этого критерия, например, видно, что при x\rightarrow 0 бесконечно малая  sin\: x  эквивалентна x, а \sqrt{1+x}-1=\frac{1}{2}x.
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости  \left [ \frac{0}{0} \right ] . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых  \frac{\beta }{\alpha }. Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Еслиf\sim f_{1} , а g\sim g_{1} , при x\rightarrow x_{0} , то если \exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)} , то  \exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} и lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то  при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx(e^{x}-1)}{cosx-cos3x}=\begin{bmatrix} arcsinx\sim x\\e^{x-1}\sim x \\cosx-cos3x=2sinxsin2x \ \end{bmatrix}\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*x}{4x^{2}}=\frac{1}{4}

2) lim_{x\rightarrow \infty }x(e^{\frac{1}{x}}-1)=\begin{bmatrix} \frac{1}{x}=t\\ x\rightarrow \infty \Rightarrow t\rightarrow 0 \end{bmatrix}=lim_{t\rightarrow 0 }\frac{1}{t}(e^{t}-1)=lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}t=lim_{t\rightarrow 0}1=1

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).
  • Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа, том 1» Издание шестое,  стереотипное 1968 Изд-во Наука (с. 112-114)

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ

Вторая теорема Вейерштрасса

Если f\in C[a;b] , то она достигает своих точных граней, то есть

 \exists \xi \in [a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)  и

\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})= \inf\limits_{x \in [a;b]} f(x) .

Доказательство:

\exists \xi \in [ a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b] } f(x)
Обозначим M=\sup f(x) (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: \forall x\in [a;b]:f(x)\leq M
\forall \varepsilon >0\; \exists x_{\varepsilon }\in [a;b]:M-\varepsilon <f(x_{\varepsilon })

Полагая \varepsilon =1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},... получим последовательность \left \{ x_{n} \right \}такую, что для всех  n\in N выполняются условия \forall n\in \mathbb{N}:M-\frac{1}{n}<f(x_{n})\leq M откуда получаем  \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n}) существует подпоследовательность \left \{ x_{n_{k}} \right \}  (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности \left \{ x_{n} \right \}  и точка \xi , такие что  \lim\limits_{x \to \infty } x_{n_{k}}=\xi ,  где  \xi\in [a;b].
В силу непрерывности функции f в точке \xi \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=f(\xi )

С другой стороны \left \{ f(x_{n_{k}}) \right \} — подпоследовательность последовательности \left \{ f(x_{n}) \right \}, сходящейся к числу M.
Поэтому  \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=M
В силу единственности предела последовательности заключаем, чтоf(\xi )=M=\sup\limits_{x \in [a;b]} f(x);

Утверждение \exists \xi \in [ a; b]:f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x) доказано.

Аналогично доказывается \exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})=\inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»

Обратная функция

Определение

Пусть функция $y=f(x)$ с областью определения $ D(f)$ и множеством значений $R(f)$. Обратная к $f$ — функция $f^{-1}$ определяется как функция с областью определения $D(f^{-1})=R(f)$  и множеством значений $R(f^{-1})=D(f)$ , такая что $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $f(x)=y$. Таким образом,  $f^{-1}$ возвращает $y$ обратно в $x$.

График

Переход от функции $y=f(x)$, $x\in X$, к обратной функции $x=f^{-1}(y)$, $y\in Y$ (если она существует), сводится к изменению ролей множеств $X$ и $Y$. Следовательно, графики функций $y=f(x)$ и $x=f^{-1}(y)$ на плоскости $XOY$ совпадают. Но обычно и для обратной функции аргумент обозначают через $x$, т.е. записывают ее в виде $y=f^{-1}(x)$. График функции $y=f^{-1}(x)$ получается из графика функции $y=f(x)$ с помощью преобразования плоскости $XOY$, переводящей каждую точку $(x,y)$ в точку $(y,x)$, то есть симметрией относительно прямой $y=x$.

Graphic

Примеры показать

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Тест по теме «Обратная функция»