M2103. Таблица с разными числами в строке и столбце

Условие

Дана таблица n\times n, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n. В клетки таблицы расставляются числа 1,2,\cdots,n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если читсло в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которй во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Решение

Найдем общее количество хороших клеток. В первом столбце их n-1 (все, кроме клетки с числом 1), во вторм их n-2 (все, кроме клетки с числом 1 и 2) и т.д., в последнем столбце таких клкеток нет. Значит, всего их (n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{n(n-1)}{2}

Поэтому в каждой строке их должно быть по \frac{n-1}{2}, следовательно, n должно быт ьнечетным.

1 n n-1 \cdots 2
2 1 n \cdots 3
3 2 1 \cdots 4
\vdots \vdots \vdots \ddots \vdots
n-1 n-2 n-3 \cdots n
n n-1 n-2 \cdots 1

Приведем пример расстановки при нечетном n. Пусть в первой строке записаны числа в порядке 1,n,n-1,n-2,\cdots,2

а каждая следующая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки на 1 клетку (см.рис.). Очевидно, в любой строке и в любом столбце каждое из чисел 1,2,\cdots,n встречается по одному разу. Рассмотрим m-ю строку (m\in \left \{ 1,2,\cdots,n \right \}). В ее первых m клетках стоят числа 1,2,\cdots,m в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно \left [\frac{m}{2} \right] хороших. В ее последних n-m клетках(т.е. в столбцах с номерами m+1,m+2,\cdots,n) стоят числа m+1,m+2,\cdots,n в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно \left [\frac{n-m}{2} \right] хороших. Так как числа m и n-m разной четности, то в m-й строке ровно \left [\frac{m}{2} \right]+\left [\frac{n-m}{2} \right]=\frac{m}{2}+\frac{n-m}{2}-\frac{1}{2}=\frac{n-1}{2} хороших клеток.

К.Чувилин

M2103

Дана таблица n\times n , столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n . В клетки таблицы расставляются числа 1,2,\cdots,n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если читсло в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которй во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Решение

Найдем общее количество хороших клеток. В первом столбце их n-1 (все, кроме клетки с числом 1), во вторм их n-2 (все, кроме клетки с числом 1 и 2) и т.д., в последнем столбце таких клкеток нет. Значит, всего их (n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{n(n-1)}{2}

Поэтому в каждой строке их должно быть по \frac{n-1}{2} , следовательно, n должно быт ьнечетным.

1 n n-1 \cdots 2
2 1 n \cdots 3
3 2 1 \cdots 4
\vdots \vdots \vdots \ddots \vdots
n-1 n-2 n-3 \cdots n
n n-1 n-2 \cdots 1

Приведем пример расстановки при нечетном n . Пусть в первой строке записаны числа в порядке 1,n,n-1,n-2,\cdots,2

а каждая следующая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки на 1 клетку (см.рис.). Очевидно, в любой строке и в любом столбце каждое из чисел 1,2,\cdots,n встречается по одному разу. Рассмотрим m -ю строку ( $m\in \left \{ 1,2,\cdots,n \right \} $). В ее первых m клетках стоят числа 1,2,\cdots,m в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно \left [\frac{m}{2} \right] хороших. В ее последних n-m клетках(т.е. в столбцах с номерами m+1,m+2,\cdots,n ) стоят числа m+1,m+2,\cdots,n в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно \left [\frac{n-m}{2} \right] хороших. Так как числа m и n-m разной четности, то в m -й строке ровно \left [\frac{m}{2} \right]+\left [\frac{n-m}{2} \right]=\frac{m}{2}+\frac{n-m}{2}-\frac{1}{2}=\frac{n-1}{2} хороших клеток.

Асимптоты и их поиск

Напомним, что различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные, которые могут быть как односторонними так и двусторонними.

Определение 1. Пусть функция f определена на отрезке (a; + \infty ). Прямая y = kx + b называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции f при x \to + \infty , если

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - (kx + b)) = 0

По аналогии определяется (наклонная асимптота) при x \to - \infty .

Итак, прямая x=0 является двусторонней вертикальной асимптотой графика функции y = \frac{1}{x}.
Определение 2. Пусть функция f определена на ( - \infty ,a). Прямая y = kx + b называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции f при x \to - \infty если

\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (f(x) - (kx + b)) = 0

Определение 3. Прямая x = {x_0} называется вертикальной асимптотой графика функции f, если хотя бы одна из границ или

f(x_0 + 0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 + 0} f(x) = \infty

равны бесконечности. Отсюда следует, что вертикальные асимптоты графика функции  f(x) могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.

Что бы найти вертикальные асимптоты графика функции f, надо найти такие значения{x_0}, для которых выполняется одно или оба предыдущих условия. 

Пример 1.Найдем вертикальные асимптоты графика функции y = {e^{\frac{1}{{x - 2}}}}. Ясно, что эта функция определена во всех точках числовой оси R, кроме точки x=2. Вычислим пределы:

\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 - 0} {e^{\frac{1}{{x - 2}}}} = 0

и

\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 + 0} {e^{\frac{1}{{x - 2}}}} = \infty

Следовательно, прямая x=2 является односторонней вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции при x \to 2 + 0.

ex

Пример 2.Выясним существует ли вертикальные асимптоты у графика функции y = \frac{1}{x}. Эта функция определена на множестве всех вещественных чисел кроме нуля причем

\mathop {\lim }\limits_{x \to - 0} \frac{1}{x} =- \infty

и

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} =\infty

Иными словами, если мы имеем кривую, которая отдаляется в бесконечность, и если расстояние от точки кривой к некоторой прямой при отдалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

gip
Из определения наклонной асимптоты следует следующее утверждение.
Для того, что бы График функции f имел при x \to \pm \infty наклонную асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, что бы

k = \mathop {\lim }\limits_{x \to\pm \infty } \frac{{f(x)}}{x}

b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (f(x) - kx)

Пример 3. Найти асимптоты графика

f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x}

Функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Вычислим пределы:

\mathop {\lim }\limits_{x \to +0} \frac{x - 3x + 1}{x}=+\infty

\mathop {\lim }\limits_{x \to -0} \frac{x - 3x + 1}{x}=-\infty

Следовательно, прямая x=0 — двухсторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.

Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде

f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x} = x - 3 + \frac{1}{x}

Так как 1/x \to 0 при x\to \infty, то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая y=x-3 является двухсторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку 1/x>0 при x>0 и 1/x<0 при x<0, кривая графика лежит выше асимптоты при x \to -\infty.

par

Литература

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I — 687 с. ( с. 374- 375).
  • Вартаняна Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(с. 52-53).
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
  • Исследование функций

Метод интегрирования по частям



Теорема.
Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на интервале $I$. Если одна из функций $u(x)v^\prime(x)$ или $u^\prime(x)v(x)$ имеет первообразную на интервале $I$, то на этом интервале имеет первообразную и другая функция, причем справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx$$
или короче $$\int udv=uv -\int vdu.$$
Доказательство.
Пусть $u(x)v^\prime(x)$ имеет первообразную, тогда, по правилу дифференцирования произведения, имеем
$$\left(u(x)v(x)\right)^\prime=u(x)v^\prime(x)+u^\prime(x)v(x).$$
Получаем, что $u^\prime(x)v(x)$ является разностью производных двух функций, то-есть двух функций имеющих первообразные, следовательно сама имеет первообразную и справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx.$$
Замечание.
Если одна из функции дифференцируемая, а другая имеет первообразную, то их произведение не обязано иметь первообразную. Поэтому в формулировке теоремы нужно предполагать наличие первообразной у одной из функций $u(x)v^\prime(x$ или $u^\prime(x)v(x)$.
Пример 1.

\int {\ln xdx} =  \left[ \begin{array}{l}u = \ln x;\\dv = dx;\\du =\frac{{dx}}{x};\\v = x.\end{array} \right] = x\ln x - \int{x \frac{{dx}}{x}} =  x\ln x - x + C

Пример 2.

\int{x\cos xdx} =  \left[ \begin{array}{l}u = x;\\dv = \cos xdx;\\du = dx;\\v = \sin x.\end{array} \right] =  x\sin x - \int {\sin xdx} =  \sin xdx + \cos x + C

Пример 3.

В некоторых случаях для вычисление интеграла нужно сложить уравнение. Так, например

 I = \int {e^{ax}\sin{bx}dx} =  \left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \sin{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v =- \frac{1}{b}\cos{bx}.\end{array} \right] =  - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\int{ e^{ax}\cos{bx}dx}=  \left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \cos{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v = \frac{1}{b}\sin{bx}.\end{array} \right] =  - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\left( {\frac{1}{b}{e^{ax}}\sin{bx} - \frac{a}{b}\int {e^{ax}\sin{bx}dx} } \right) =  - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b^2}{e^{ax}}\sin{bx} - \frac{a^2}{b^2}I
Отсюда

I =  \int {e^{ax}\sin bxdx} =  \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\sin bx - b\cos bx) + C

По аналогии,

\int {e^{ax}\cos bxdx} =  \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(b\sin bx + a\cos bx) + C

Литература

Смотрите также

Метод интегрирования по частям

Тест на тему: «Метод интегрирования по частям».


Таблица лучших: Метод интегрирования по частям

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метод подстановки

Во многих случаях свести нахождение интеграла к табличному виду позволяет метод подстановки, который так же называют метод замены переменных. Основную идею метода составляет следующая теорема.

Теорема:

Пусть функция x = \varphi (t) непрерывно дифференцируема на промежутке T, а на промежутку X такой, что \forall t \in T, x = \varphi (t) \in X определена непрерывная функция f(x). Тогда,

\int {f(x)dx}= \int {f(\varphi (t))\varphi '} (t)dt

Практическая польза формулы замены переменной состоит в том, что когда вы затрудняетесь взять интеграл, вы делаете замену u=g(x), т.е. обозначаете некоторое выражение g(x), входящее в подынтегральнyю функцию, новой буквой u, и затем преобразуете интеграл под формулу замены. Хотя формула справедлива для любой замены (удовлетворяющей условия теоремы), задача состоит в подборе такой, которая приводит к табличному интегралу (или нескольким табличным интегралам). Такую замену будем называть хорошей. Вообще говоря, подбор хорошей замены не всегда очевиден. Если одна замена не сработала, не отчаивайтесь, а пробуйте другую.

Пример 1:

\int {\rm ctg} xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}dx = \left|\begin{array}{l}t = \sin x;\\dt = \cos xdx.\end{array} \right| = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln |t| + C = \ln \left| {\sin x} \right| + C. 

Пример 2:

\int {\rm tg} xdx = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}dx = \left| \begin{array}{l}t = \cos x;\\dt = - \sin xdx.\end{array} \right| = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln |t| + C = - \ln \left| {\cos x} \right| + C. 

Литература