M1231. О разбиении плоскости графиками многочленов второй степени

Условие

На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость Oxy графики n квадратных трехчленов вида y=ax^{2}+bx+c (n=1, 2, 3, ...)?

Ответ: n^{2}+1.

Решение

Докажем по индукции, что число частей не превосходит n^{2}+1. Для n=1 это ясно: парабола делит плоскость на две части.
Пусть доказано, что n-1 графиков делят плоскость не более, чем на (n-1)^{2}+1 частей. Проведем последний, n-й график. Он пересекается с каждым из n-1 предыдущих максимум в двух точках, т.е. он будет разбит не более чем на 2(n-1)+1=2n+1 кусков (включая два крайних, уходящих в бесконечность). Каждый из этих кусков параболы делит одну из имеющихся частей плоскости на две. Таким образом, при проведении последней параболы число частей увеличится не более чем на 2n+1, т.е. не превзойдет (n-1)^{2}+1+2n+1=n^{2}+1.
К задаче M1231
Легко строится пример, когда все графики попарно пересекаются в двух точках (см. рисунок) — при этом получится максимальное число частей, указанное в ответе.
Точно такие же образом можно подсчитать максимальное число частей, на которые делят плоскость n прямых, n окружностей и т.п.

Н.Васильев

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Интегрирование функций вида R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},...,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})

Интегралы типа \int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},...,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}}),
где a, b, c, d — действительные числа, r_{k}\in \mathbb{Q}(k=\overline{1,n}), сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки

\frac {ax+b}{cx+d}=t^{p},

где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел r_{1},r_{2},...r_{n}.
Действительно, из подстановки \frac{ax+b}{cx+d}=t^{p} следует, что x=\frac{b-dt^{p}}{ct^{p}-a} и dx=-\frac {dpt^{p-1}(ct^{p}-a)-(b-dt^{p})cpt^{p-1}}{(ct^{p}-a)^{2}}dt, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби \frac{ax+b}{cx+d} выражается через рациональную функцию от t.

Примеры

1)Найти I=\int\frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}}dx. Сделав подстановку

t=\sqrt{x+1};dx=2tdt

будем иметь

I=2\int\frac{t+2}{t^{3}-1}dt=\int(\frac{2}{t-1}-\frac{2t+2}{t^{2}+t+1})dt=2\int\frac{dt}{t-1}-\int\frac{2t+1}{t^{2}+t+1}dt-\int\frac{dt}{(t+1\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}=
=ln\frac{(t-1)^{2}}{t^{2}+t+1}-\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C.

2) Найти интеграл I=\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}-\sqrt{x+2}}. Наименьшее общее кратное знаменателей дробей \frac{2}{3} и \frac{1}{2} есть 6. Сделав замену

t=\sqrt[6]{x+2};dx=6t^{5}dt

будем иметь

I=\int\frac{6t^{5}dt}{t^{4}-t^{3}}=6\int\frac{t^{2}dt}{t-1}=6\int\frac{(t^{2}-1)+1}{t-1}dt=6\int(t+1+\frac{1}{t-1})dt=3t^{2}+6t+
+6ln\left|t-1\right|+C=3\sqrt[3]{x+2}+6\sqrt[6]{x+2}+6ln\left|\sqrt[6]{x+2}-1\right|+C.

Литература

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
  • www.znannya.org_Интегрирование иррациональных функций
  • Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, часть 1(3), О.:2009, стр.60
  • Интегрирование дифференциального бинома

    Дифференциальным биномом называют выражение вида

     x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx,

    где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
    Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
    1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида  R (x,\sqrt[r]{x}) dx , где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой  t=\sqrt[r]{x} .
    2.Второму случаю соответствует целое число  \frac{m+1}{n} . Сделаем подстановку
     z = x^{n} и положим для краткости  \frac{m+1}{n}-1=q , получим

     \int x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx=\frac{1}{n}\int (a+bz)^{p} z^{q}dz

    Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида  R (z,\sqrt[s]{a+bz}) , где s — знаменатель рационального числа p.
    Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

     t=\sqrt[s]{a+bz}=\sqrt[s]{a+bx^{n}}.

    3. Третьему случаю соответствует целому число  (\frac{m+1}{n}+p) . Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида  R (z,\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}) , так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

     t=\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}=\sqrt[s]{\frac{a}{x^{n}}+b}.

    В середине 19-го века П.Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).

    Примеры

    1)Вычислить интеграл  I=\int \frac{ \sqrt{x}dx}{ (1+\sqrt[3]{x})^{2}} = \int x^{\frac {1} {2}} (1+x^{\frac{1}{3}})^{-2} . Здесь  m=\frac{1}{2}, n=\frac{1}{3}, p=-2 .  Так как p — целое, значит используем подстановку из первого случая

     x=t^{6}, dx=6t^{5}dt, \sqrt {x} = t^{3}, \sqrt [3] {x} = t^{2}

    подставим:

     I = 6 \int\frac{t^{8}}{ (t^{2} + 1)^{2} }dt = 6 \int (t^{4} - 2t^{2} + 3 - \frac{4} {t^{2}+1} + \frac{1} { (t^{2} + 1)^{2} }) dt = \frac {6}{5}x^{\frac{5}{6}} - 4x^{\frac {1}{2}} + 18x^{\frac {1}{6}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}}} { (1 + x^{\frac{1}{3}})} - 21arctg (x^{\frac{1}{6}}) + C

    2) Вычислить интеграл  I = \int \frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}} dx. Здесь  m = 1, n = \frac{2}{3}, p = -\frac{1}{2}. Так как \frac{m+1}{n} = 3 — целое (второй случай).

    t^{2} = 1 +x^{\frac{2}{8}}, x = (t^{2} - 1)^{\frac{8}{2}},  dx = 3t (t^{2}-1)^{\frac{1}{2}} dt

    подставим:

     I = 3\int (t^{2}-1)^{2} dt = \frac{3}{5}t^{6} - 2t^{3} + 3t + C,

    t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}

    3) Вычислить интеграл  I=\int x^{5} (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}} dx . Графиком подынтегральной функции будет:
    curs
    В данном случае  m=5,n=2,p=-\frac{1}{2} , так что  \frac{m+1}{n}=3 (второй случай). Сделав подстановку

     t=\sqrt{1-x^{2}}, x=\sqrt{1-t^{2}}, dx=-\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{2}}},

    будем иметь

     -\int (1-t^{2})^{2} dt=-\int dt+2\int t^{2}dt-\int t^{4}dt=-t+\frac{2}{3}t^{3}-\frac{t^{5}}{5}+C=-\sqrt{1-x^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{ (1-x^{2})^{3}} -\frac{\sqrt{ (1-x^{2})^{5} }}{5}+C.

     

    4) Вычислить интеграл  I=\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a+bx^{2}}}=\int x^{-2} (a+bx^{2})^{-\frac{1}{2}} dx . Здесь  m=-2,n=2,p=-\frac{1}{2} , так что  \frac{m+1}{n}+p=-1 (третий случай) Сделав подстановку

     t=\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}, x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{t^{2}-b}}, dx=-\frac{\sqrt{a}tdt}{\sqrt{ (t^{2}-b)^{3} }},

    будем иметь

     I=\int - (\frac{dt}{a}) = -\frac{t}{a}+C=-\frac{\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}}{a}+C.

    Литература

    • В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, М.:Наука, 1982. стр. 227, 228.

    Интегрирование дифференциального бинома

    Интегрирование дифферециального бинома

    Таблица лучших: Интегрирование дифференциального бинома

    максимум из 15 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Интегрирование рациональных функций

    Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

    Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

    $\large   \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

    где S — «целая часть» (многочлен).

    $\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

    Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

    $$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$$

    Если $\normalsize m<n$, то:

    $$ \small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$$ $$+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$$ $$+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$$

    Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

    $$ \frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r  \epsilon   \mathbb{N}    и    \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k  \epsilon  \mathbb{N}$$

    $$r=1:    \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$$

    $$r\neq1:   \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$$

    Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

    $\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

    $\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

    $\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

    $\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

    Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$, $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

    $\large k>1:$  $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

    $\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

    $\large k=1:$  $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

    В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

    $\large k=1:$  $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

    Пример 1

    Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

    Решение

    ... показать

    Пример 2

    Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

    Решение

    ... показать

    Литература:

    • Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
    • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
    • Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

      Интегрирование рациональных функций

      Интегрирование рациональных функций

      Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

      максимум из 6 баллов
      Место Имя Записано Баллы Результат
      Таблица загружается
      Нет данных