Задачи из журнала «Квант» № M2141

Условие :

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD ( точка D лежит на отрезке AC ). Прямая BD пересекает окружность \Omega , описанную около треугольника ABC, в точках B и E. Окружность \omega, построенная на отрезке DE как на диаметре, пересекает окружность \Omega в точках E и F. Докажите, что прямая, симметричная прямой BF относительно прямой BD, содержит медиану треугольника ABC.

Доказательство :

Пусть M - середина стороны AC (см. рисунок ). Так как дуги AE и CE равны, то ME - серединный перпендикуляр к отрезку AC. Поскольку \angle DME = 90^{\circ}, то M лежит на окружности \omega. Пусть прямая DF пересекает вторично окружность \Omega в точке G. Так как \angle DFE = 90^{\circ}, то G - точка, диаметрально противоположная точке E, в частности EG проходит через M.
Имеем \angle FBE =\angle FGE .
Далее, поскольку EG - диаметр, \angle GBE = 90^{\circ}. Из равенств \angle GBD = \angle GMD = 90^{\circ} вытекает, что GBDM - вписанный четырехугольник ( в отружность с диаметром DG ), откуда \angle MBE = \angle MBD = \angle MGD = \angle EGF. Окончательно, \angle FBE = \angle FGE = \angle MBE , что и требовалось установить.

12.6 Частные производные высших порядков

Пусть $f – $ действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb {R}^n.$Предположим, что на этом множестве у нее существует $i — $я частная производная. Это $–$ тоже функция на $E$. Может оказаться, что и у этой функции существует частная производная, например, по переменной $x^{j}$. Она называется частной производной функции $f$ второго порядка и обозначается
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}\left(x_0\right) = \frac{\partial}{\partial x^j}\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)\left(x_0\right),\:\:f^{\prime\prime}_{x^i x^j} (x_0),\:\: D_{ij} f\left(x_0\right). $$
По индукции определяются частные производные любого порядка. Частная производная порядка $q$, взятая по переменным $x^{i_1},x^{i_2},…,x^{i_q}$, в точке $x_0$ обозначается
$$ \frac{\partial^q f}{\partial x^{i_1} \cdots \partial x^{i_q}}\left(x_0\right). $$
Если среди индексов $i^1,…i^q$ имеются различные, то соответствующая частная производная называется смешанной.

Пример. Пусть $f\left( x, y \right) = x^3 y − 2xy^2$. Частные производные первого порядка равны $f^{\prime}_x = 3x^2y−2y^2,f^{\prime}_y = x^3 − 4xy.$ Частные производные второго порядка равны $f^{\prime\prime}_{xx} = f^{\prime\prime}_{x^2} = 6xy, f^{\prime\prime}_{xy} = 3x^2 − 4xy,f^{\prime\prime}_{yy} = f^{\prime\prime}_{y^2} = −4x,f^{\prime\prime}_{yx} = 3x^2−4y.$

Две различные смешанные производные оказались равными. Возникает вопрос: всегда ли это так?

Пример функции, у которой смешанные производные различные.
Пусть
$$\displaystyle \begin{equation*}f\left(x,y\right) = \begin{cases} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, x^2+y^2>0\\ 0, x\:=\:y\:=\:0 \end{cases}\end{equation*}$$
Найдем
$$f^{\prime}_x = y\left[\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+x\frac{2x(x^2+y^2)-2x\left(x^2-y^2\right)}{ (x^2+y^2)^2}\right] =$$ $$=\:\frac{y}{x^2+y^2}\left(x^2-y^2+\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}\right),\:\left(x^2+y^2 > 0\right) \: ,$$ $$f_x^{\prime}\left(0,0\right)\:=\:0 , f_{xy}^{\prime\prime} = \lim\limits_{y\to 0}\frac{f^{\prime}_x\left(0,y\right)\:-\: f^{\prime}_x(0,0)}{y} = -1 , f_{yx}^{\prime\prime}\left(0,0\right) = 1.$$
Итак, получили, что смешанные производные не равны между собой.

Теорема Шварца: Пусть $f – $ действительная функция, определенная в некоторой окрестности $U$ точки $x_0$ и имеющая всюду в этой окрестности частные производные $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x^i}, \frac{\partial f}{\partial x^j} \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$. Если смешанная производная $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}$ непрерывна в точке $x_0$, то в этой точке существует и другая смешанная производная $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}(x_0)$, и при этом справедливо равенство
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}\left(x_0\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}\left(x_0\right).$$

Достаточно доказать теорему для случая $n = 2$, поскольку в ней по существу идет речь только о функциях двух переменных при фиксированных всех остальных. Итак, предположим, что задана функция двух переменных $f\left(x,y\right)$ и существуют $f^{\prime}_x, f^{\prime}_y, f^{\prime\prime}_{xy}$. Нужно доказать, что существует $f^{\prime\prime}_{yx}\left(x_0,y_0\right)$ и она равна $f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)$.
Рассмотрим разностное отношение
$$Q(h) = \frac{f^{\prime}_y(x_0+h,y_0)\:-\:f^{\prime}_y(x_0,y_0)}{h}$$
Заметим, что при любом $x$
$$f^{\prime}_y\left(x,y_0\right)\: = \: \lim\limits_{\mu \to 0}\frac{f\left(x,y_0\:+\:\mu\right) \:-\:f\left(x,y_0\right)}{\mu}.$$
Обозначим
$$\varphi_{\mu}(x)\:\equiv\: \frac{f(x,y_0\:+\:\mu)\:-\:f(x,y_0)}{\mu},$$
$$Q^{\ast}(h,\mu)\:\equiv\: \frac{\varphi_{\mu}\left(x_0\:+\:h\right)\:-\: \varphi_{\mu}\left(x_0\right)}{h}.$$
Если $h$ фиксировано, то
$$\lim\limits_{\mu\to 0}Q^{\ast}(h,\mu) \:=\: Q(h).$$
Далее, пользуясь формулой конечных приращений, получаем
$$\frac{\varphi_{\mu}\left(x_0\:+\:h\right)\: -\: \varphi_{\mu}\left(x_0\right)}{h}\:=\: \frac{d \varphi_{\mu}}{dx \left(x_0\:+\:\theta_1 h\right)}\: = $$
$$=\: \frac{f^{\prime}_x\left(x_0\:+\: \theta_1 h,y_0\:+\: \mu\right)\:-\: f^{\prime}_x\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\right)}{\mu}.$$
Теперь воспользуемся формулой конечных приращений по $y$ и получим, что последнее отношение равно
$$\frac{d\varphi_{\mu}}{dx}\left(x_0\:+\: \theta_1h\right)\:=\:\frac{f^{\prime}_x\left(x_0\:+\:\theta_1h,y_0\:+\:\mu\right)\:-\: f^{\prime}_x\left(x_0 \:+\: \theta_1h,y_0\right)}{\mu}\: =$$
$$=\: f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\:+\: \theta_2\mu\right),$$
где $\theta_1,\theta_2\: –$ величины, зависящие от $h,\mu$ и заключены в интервале $\left(0,1\right)$.
Итак, получили
$$Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0\:+\: \theta_1h,y_0\:+\:\theta_2\mu\right).$$
Но поскольку $f^{\prime\prime}_{xy}$ непрерывна в точке $\left(x_0,y_0\right)$ по условию, то получаем
$$Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)\:+\:\varepsilon\left(h,\mu\right),$$
где $\varepsilon\left(h,\mu\right) \to 0$ при $\left(h,\mu\right) \to \left(0,0\right)$.
Зададим $\varepsilon > 0$ и найдем такое $\delta > 0$, что при $0 < |h| < \delta, \: 0 < |\mu| < \delta$ справедливо неравенство $|\varepsilon(h,\mu)| < \varepsilon$. Поэтому при указанных значениях $h,\mu$ имеет место неравенство
$$|Q^{\ast}\left(h,\mu\right)\:-\: f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)| < \varepsilon .$$
Теперь фиксируем $h, 0<|h|<\delta $,и $\mu$ устремляем к нулю. Тогда получим
$$|Q\left(h\right)\:-\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)| \leq \varepsilon.$$
Это означает, что $\lim\limits_{h\to 0}Q\left(h\right)\:=\:f^{\prime\prime}_{xy}\left(x_0,y_0\right)$. Отсюда следует справедливость теоремы Шварца.

Определение: Пусть $q\:–$ натуральное число. Действительная функция $f$, определенная на открытом множестве $E\subset \mathbb {R}^n$,называется функцией класса $C^q$ на этом множестве, если она имеет все частные производные до порядка $q$ включительно, непрерывные на этом множестве.

Теорема: Если $f\:–\:$функция класса $C^q$ на открытом множестве $E\subset \mathbb {R}^n$, то значение любой смешанной производной порядка $q\:$ не зависит от последовательности, в которой выполняется дифференцирование.

Эта теорема доказывается с помощью теоремы Шварца по индукции. Мы не будем приводить это доказательство.

Примеры решения задач

  1. Найти частные производные второго порядка функции $f\left(x,y\right)\:=\:x^3\:+\:y^3\:-\:3xy.$
  2. Решение :

    $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\:=\:3x^2\:-\:3y$
    $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\:=\:3y^2\:-\:3x$
    $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\:=\:6x$
    $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\:=\:6y$
    $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\:=\:-3.$

  3. Найти частные производные второго порядка функции $f(x,y)\:= \:\sin x\:-\:x^2y.$
  4. Решение :

    $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\:=\:\cos{x}\:-\:2xy$
    $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\:=\:-x^2$
    $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\:=\:-\sin x\:-\:2y$
    $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\:=\:0$
    $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\:=\:-2x$
    $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\:=\:-2x.$

  5. Найти дифференциал $df$ функции $f\left(x,y,z\right)\:=\:\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}$
  6. Решение :

    $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\:=\:\frac{x}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}$
    $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\:=\:\frac{y}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}$
    $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\:=\:\frac{z}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}$
    $\displaystyle df \:=\: \frac{x}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}} dx\:+\:\frac{y}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}} dy\:+\:\frac{z}{\sqrt{x^2\:+\:y^2\:+\:z^2}}dz.$

Пройдите тест, чтобы проверить свои знания

См. также:

  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Т.I. — М.: ФМЛ, 1962
  2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1. — М.: Дрофа, 2003
  3. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И, Курс математического анализа. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003
  4. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I. — М.: Наука, 1983
  5. <Б.П. Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу", Отдел 6, Параграф 2

Задачи из журнала «Квант» № M2140

Условие :

Восемь клеток одной диагонали шахматной доски назовем забором. Ладья ходит по доске, не наступая на одну и туже клетку дважды и не наступая на клетки забора(промежуточные клетки не считаются посещенными). Какое наибольшее число прыжков через забор может совершить ладья?

Ответ : 47 прыжков.

Решение :

рис.1

Разделим доску на четыре квадрата 4\times4. Заметим, что если ладья прыгает через забор, то либо начальная, либо конечная клетка прыжка закрашена цветом - голубым или розовым - на рисунке 1. Так как закрашенных клеток 24 и через каждую может проходить максимум два прыжка, то всего может оказаться не более 48 прыжков. При этом, если их ровно 48, то из каждой закрашенной клетки должно быть сделано два прыжка в не закрашенные клетки( в предыдущем подсчете прыжок из закрашенной в закрашенную будет подсчитан два раза!). Тогда все ходы из голубых клеток будут вести в белый квадрат под диагональю, а оттуда - только в голубые клетки( либо в другие клетки этого же квадрата ). Значит подобным образом ладья никогда не попадет в розовые клетки. Противоречие. Таким образом, количество прыжков не превосходит 47.
Один из возможных примеров с 47 прыжками показан на рисунке 2( числа в клетках указывают, в каком порядке ладья по ним ходит).

рис.2