Свойства сходящихся рядов

Свойство 1

Если ряды

\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n (1) и \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n (2)

сходятся, и их суммы равны соответственно S, \sigma , то \forall \alpha ,\beta \epsilon \mathbb{R} ряд

\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n) (3)

сходится, при этом его сумма \tau=\alpha S+\beta\sigma.

Доказательство.

Пусть S_n, \sigma_n, \tau _n n-е частичные суммы соответственно рядов (1), (2), (3). Тогда  \tau _n=\alpha S_n +\beta \sigma_n. Поскольку \left \{ S_n \right \} и \left \{ \sigma _n \right \} сходятся, то последовательность \left \{ \tau _n \right \} имеет конечный предел по свойству сходящихся последовательностей, то есть ряд (3) сходится и справедливо \tau=\alpha S+\beta\sigma.

Замечание:

Если ряды (1) и (2) расходятся, то о сходимости ряда (3) ничего утверждать нельзя. Ряд может быть сходящимся, а может быть расходящимся.

Например:

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty}n и \sum\limits_{n=1}^{\infty}n — расходятся, и
    \sum\limits_{n=1}^{\infty}(n+n) расходится.
  2. \sum\limits_{n=1}^{\infty}n и \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-n) — расходятся, но
    \sum\limits_{n=1}^{\infty}(n-n)=0 сходится.

Свойство 2

Если сходится ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n (1), то \forall t\epsilon \mathbb{N} сходится ряд \sum_{n=t+1}^{\infty}a_n. (2)

Данный ряд называют t-м остатком ряда (1). Верно и обратное: если при фиксированном t ряд (2) сходится, тогда и ряд (1) сходится.

Доказательство.

Пусть \sum_{i=1}^{n}a_i=S_nn-я частичная сумма ряда (1) и \sum_{j=1}^{t+k}a_j=\sigma_k^{(t)}k-я частичная сумма ряда (2). Тогда
S_n=S_t+\sigma _k^{(t)}, где n=t+k. (*)

Если ряд (1) сходится, то \exists \lim_{n \to \infty}S_n, причем конечный, таким образом из равенства (*) следует, что при фиксированном t существует конечный предел последовательности \left \{ \sigma _k^{(t)} \right \} при k\rightarrow \infty, то есть ряд (2) сходится.

Обратное утверждение: если \exists \lim_{k \to \infty}\sigma_k^{(t)} и он конечен при фиксированном t, то существует конечный \lim_{n \to \infty}S_n.

Замечание:

Свойство утверждает, что сходимость ряда не изменится, если отбросить конечное число членов ряда.

Свойство 3

Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n (1) сходится, то ряд \sum_{j=1}^{\infty}b_j (2), полученный путем группировки членов ряда (1) без изменения порядка их расположения, также сходится и его сумма равна сумме ряда (1).

Доказательство.

Пусть b_1=a_1+...+a_{k_{1}}
b_{2}=a_{k_{1}+1}+...+a_{k_{2}}

….

b_j=a_{k_{j-1}}+...+a_{k_{j}},

где j\epsilon \mathbb{N}, \left \{ k_j \right \} — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Пусть \sum_{k=1}^{n}a_k=S_n, \sum_{j=1}^{m}b_j=\sigma _m, тогда \sigma _m=S_{k_{m}}. Так как \left \{ \sigma _m \right \}подпоследовательность сходящейся последовательности \left \{ S_n \right \}, то \exists \lim_{m \to \infty}\sigma _m=S, где S-сумма ряда (1).

Литература

Свойства сходящихся рядов

Тест на проверку знаний свойств сходящихся рядов.

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости

Пусть дана последовательность a_1, a_2,..., a_n,..., где a_i\epsilon \mathbb{R}, i \epsilon \mathbb{N}

Символ вида (*) a_1+a_2+...+a_n+... называется числовым рядом и обозначается\sum_{n=1}^{\infty}a_n , при этом a_n называется общим членом ряда. Ряд (*) называется сходящимся, если существует предел \lim_{n \to \infty }S_n, где S_n это n-ая частичная сумма ряда, S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k.

s

При этом, число S=\lim_{n \to \infty }S_n называется суммой ряда, и пишут S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n .

Если же предел частичных сумм \lim_{n \to \infty }S_n не существует или бесконечен, то говорят, что ряд (*) расходится и никакой суммы ряду не присваивается.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

q+q^{2}+...+q^{n}+...

Запишем n-ю частичную сумму и с упростим выражение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии.

S_n=q+q^{2}+...+q^{n}=\frac{q(1-q^{n})}{1-q}, |q|\neq1
\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\frac{q}{1-q}, при |q|<1
\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\infty, при |q|>1 .
\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}n=\infty, при q=1 .
\lim\limits_{n \to \infty}S_n не существует, при q=-1 .

Таким образом, при |q|<1 ряд сходится, а при |q|\geq1 — расходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n сходится, то необходимо \lim_{n \to \infty}a_n=0.

Доказательство.

Если ряд сходится, то \exists \lim_{n \to \infty}S_n=S, следовательно \exists \lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S.

Рассмотрим \lim_{n \to \infty}(S_{n-1}-S_n)=S-S=0, где S_{n-1}-S_n=a_n, a_n — общий член ряда, \lim_{n \to \infty}a_n=0. Теорема доказана.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}.

Необходимое условие не выполняется: \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}\neq 0. Следовательно, ряд расходится.

Литература

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Тест на проверку знаний о сходящихся и расходящихся рядах, а также необходимого условия сходимости.

М1577. О высоте, медиане и биссектрисе треугольника

Задача из журнал «Квант» (1997)

Условие

В треугольнике отношение синуса одного угла к косинусу другого равно тангенсу третьего. Докажите, что высота, проведенная из вершины первого угла, медиана, проведенная из вершины второго, и биссектриса третьего угла пересекаются в одной точке.

Решение

M15772

Пусть  \alpha , \beta , \gamma — углы треугольника ABC, в котором AH — высота, BK — медиана, CL — биссектриса. Из  условия

 \frac{\sin \alpha }{\cos \beta }=\tan \gamma  (1)

следует, что углы ABC и ACB острые, поскольку   \sin\alpha >0 и в треугольнике не может быть двух тупых углов. Следовательно, основание H высоты AH — внутренняя точка отрезка BC. Найдем отношения, в которых делят высоту AH (считая от основания) два других отрезка. Высота AH параллелограмма ABCD делится его диагональю BD в отношении:

 \frac{BH}{AD}=\frac{BH}{BC}=\frac{c\cos \gamma }{a}=\frac{\sin\gamma \cos \beta }{\sin \alpha } (2)

Биссектриса же CL делит сторону НА треугольника НАС в отношении:

 \frac{HC}{CA}=\cos\gamma .   (3)

Отношения (2) и (3) равны в том и только в том случае, когда, \sin\gamma\cos\beta =\cos\gamma\sin\alpha , что эквивалентно условию (1).

Таким образом, условие (1) эквивалентно тому, что AH, BK, CL пересекаются в одной точке.

Замечания.

  1. Для треугольника задачи \left | \angle BAC-\frac{\pi }{2} \right |< \frac{\pi }{2}-\angle BAH тогда и только тогда, когда \angle BCA >\frac{\pi }{4}. Это легко следует из (1).
  2. Из предыдущего замечания сразу следует, что если в остроугольном треугольнике ABC биссектриса CL, медиана ВК и высота АН пересекаются в одной точке, то \angle BCA>\frac{\pi }{4}.Это — задача IV Всесоюзной математической олимпиады (см. книгу Н Б Васильева и А А.Егорова «Задачи Всесоюзных математических олимпиад» ~ М .: Наука, 1988; задача 135). Нетрудно показать, что для любого угла ВАС треугольник задачи существует. Из этого следует, что для тупоугольного треугольника задачи неравенство \angle ACB\geq \frac{\pi }{4} выполняется не всегда.
  3. Если в неостроугольном треугольнике ABC высота АН, медиана ВК и биссектриса CL пересекаются в одной точке, то \angle ACB>\angle ABC. Это можно доказать геометрически, но проще — с помощью (1).

Л.Алътшулер, В.Сендерос