Вычисление объема тела вращения.

Вычисление объема тела вращения

Пусть M — некоторая плоская фигура. Тело вращения мы можем получить 2 способами:

  • вращением M вокруг оси абсцисс(OX);
  • вращением M вокруг оси ординат (OY).

Примеры

Пример 1

Пусть M — тело вращения полученная вращением фигуры T, образованной линиями y=x^2-4x+2 и y=0, вокруг оси OX.
Первым делом начертим график:
svg1113
Искомая фигура T на графике заштрихована.
Отрезок на котором задана фигура равен (2-\sqrt{2};2-\sqrt{2})
Объем тела вращения равен:,
V=\pi\int\limits_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} {(x^2-4x+2)}^2 dx= \pi\int\limits_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} (x^4-8x^3+20x^2-16x+4) dx= \pi (\frac{x^5}{5}-2x^4+\frac{20x^3}{3}-8x^2+4x){|}_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}}= \frac{64\sqrt{2}\pi}{15}

Пример 2

Пусть M — тело вращения полученная вращением фигуры T, образованной линиями y=x^2-4x+2 и y=0, вокруг оси OX.
Hачертим график:

Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Сопряженность

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Теоретическая справка показать

Сложение

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 + z_2 получается простым приведением подобных:
z_1 + z_2= z_1 + z_2= a_1+b_1i+a_2+b_2i= (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

пример показать

Вычитание

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 - z_2 получается аналогично со сложением:
a_1+b_1i - (a_2+b_2i)= (a_1-a_2)+(b_1-b_2)i

пример показать

Умножение

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 \times z_2= (a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i).
Что делать на этом шаге? Все довольно просто, как Вы наверно и подумали, надо всего лишь раскрыть скобки и привести подобные:
(a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i

пример показать

Определение комплексно сопряженного числа

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
z_1 называют комплексно сопряженным к z_2, если a_1 = a_2 и b_1 = -b_2, т.е. z_1=a_1+b_1i и z_2=a_1-b_1i.
И при перемножении z_1 \times z_2= {a_1}^2-{b_1}^2
Это потребуется для нашего следующего действия.

Деление

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= \frac{z_1}{z_2}= \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}
На этом шаге обычно все и остановилось бы, но мы сможем еще упростить выражение благодаря знанию комплексно сопряженных чисел. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю, получим:
\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}= \frac{(a_1a_2+b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}

пример показать

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Теоретическая справка показать

Умножение

Произведением двух комплексных чисел z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1) и z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2) будет комплексное число вида z=z_1z_2=r_1r_2(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)

пример показать

Деление

Частным двух комплексных чисел z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1) и z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2) будет комплексное число вида z=z_1z_2=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)

Возведение в степень

\forall z \in C z^n= {r(\cos\phi+i\sin\phi)}^n= r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))

пример показать

Извлечение корня

\forall z \in C \sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}= \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n}), k=\overline{0,n-1}

пример показать

Тест поможет Вам проверить, как Вы усвоили материал

Литература

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968,cтр 115-123
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, стр 194-210

Отношение эквивалентности, связь с разбиениями

Отношение эквивалентности

Введение понятия «отношение эквивалентности»

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если отвечает условиям:

  1. Рефлексивность: a \sim a, \forall a \in A;
  2. Симметричность: a \sim b, то b \sim a, \forall a,b \in A;
  3. Транзитивность: a \sim b и b \sim c, то a \sim c, \forall a,b,c \in A.
  4. Если a связан с b, будем писать a \sim b и говорить, что a эквивалентен b.

Определение

Пусть \rho — отношение эквивалентности, тогда подмножество \overline{X}=\{y\in A\vert y\sim_{\rho}x\} называется классом эквивалентности.

Теорема

Любое отношения эквивалентности на множестве A образует разбиение множества A на классы эквивалентности. Обратно, любое разбиение множества A задает на нем отношение эквивалентности.

Доказательство

Действительно, пусть K_a — группа элементов из A эквивалентных фиксированному элементу a. В силу рефлексивности a \in K_a.
Покажем, что для любых K_a и K_b: K_a = K_b или не имеют общих элементов.
Докажем методом «от противного».
Пусть \exists c: c\in K_a и c\in K_b, т.е. c \sim a и c \sim b, а в силу транзитивности a \sim b, и b \sim a. Тогда \forall x \in K_a, то x \sim a\Rightarrowx \sim b, т.е. x \in K_b. Таким образом, две группы, имеющие хотя бы 1 общий элемент, полностью совпадают.
Мы получили разбиение на классы.
Докажем обратное.
Теперь пусть (B_i)_{i\in I} — некоторое разбиение множества A. Рассмотрим отношение \rho, такое, что x \sim_{\rho} y имеет место тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному и тому же элементу B_i данного разбиения:

x \sim_{\rho} y \Leftrightarrow (\exists i \in I)(x \in B_i) \land (y \in B_i).

Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрично. Если для любых x,y и z имеет место x \sim_{\rho} y и y \sim_{\rho} z, то x, y и z в силу определения отношения \rho принадлежат одному и тому же элементу B_i разбиения. Следовательно, x \sim_{\rho} z и отношение \rho транзитивно. Таким образом, \rho — эквивалентность на A.

Пример

Отношение равенства  =_\rho на множестве действительных чисел является отношением эквивалентности.
\forall a \in R: a=a \Rightarrow  =_\rho рефлексивно на множестве R;
\forall a,b \in A: a=b и b=a \Rightarrow  =_\rho симметрично на множестве R;
\forall a,b,c \in A: a=b и b=c, то a=c \Rightarrow  =_\rho транзитивно на множестве R.

Тест поможет определить как хорошо вы усвоили материал.

Источники:

  1. Конспект лекций С.В.Федоровского
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994,стр 15-17
  3. Отношения эквивалентности на множестве

Определение тела вращения и его объема

Определение тела вращения и его объема

Тела вращения – это объемные тела, которые образуются при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и вращается вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Определение кубируемости

Тело M — называется кубируемым, если верхний объем \overline{V} совпадает с нижним \underline{V} и тогда величина V=\overline{V}=\underline{V} называется объемом M.

Пусть Тело M — тело вращения, полученное вращением некоторой плоской фигуры вокруг оси OX или OY.
M — кубируемо и его объем вычисляется по формуле V=\pi\int\limits_{a}^{b} f^2(x) dx.
Вот пример тела полученого вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, образованной непрерывной функцией y=f(x) и прямыми x=a и x=b.
svg111