Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами

Теорема: (о трёх последовательностях)

Если последовательности   \left \{ x_{n} \right \}, \left \{ y_{n} \right \}, \left \{ z_{n} \right \} таковы, что  x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n} для всех  n \geq N_{0},  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }z_{n}=a, то последовательность  \left \{ y_{n} \right \} сходится и  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=a.

Доказательство:

По определению предела для любого  \varepsilon > 0 найдутся номера  N_{1}=N_{1}(\varepsilon ) и  N_{2}=N_{2}(\varepsilon ) такие, что  x_{n}\in U_{\varepsilon }(a) при всех  n\geq N_{1} и  z_{n}\in U_{\varepsilon }(a) при всех  n\geq N_{2}. Отсюда и из условия  x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n} для всех  n \geq N_{0}  следует, 3что при всех  n\geq N,  где N = max \left ( N_{0},N_{1},N_{2} \right ), выполняется условие  y_{n}\in U_{\varepsilon }(a). Это означает, что существует  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=a.

Пример:  

Пусть  a_{n}\geq -1 при всех   n\in \mathbb{N} и  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0  Доказать, что

\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sqrt[k]{1+a_{n}}=1, k\in \mathbb{N}

Решение:

Докажем сначала, что

1-\left | a_{n} \right |\leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq 1+\left | a_{n} \right |,~n\in \mathbb{N},~k\in \mathbb{N}.

Действительно, если  a_{n}\geq 0, то

1\leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq \left ( \sqrt[k]{1+a_{n}} \right )^{k}=1+a_{n}=1+\left | a_{n} \right |

а если -1\leq a_{n}\leq 0, то

1\geq \sqrt[k]{1+a_{n}}\geq \left ( \sqrt[k]{1+a_{n}} \right )^{k}=1+a_{n}=1-\left | a_{n} \right |,

откуда следуют неравенства  1- \left | a_{n} \right | \leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq 1+\left | a_{n} \right |,~n\in \mathbb{N},~k\in \mathbb{N}.. Применяя теорему (о трёх последовательностях), получаем  утверждение  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sqrt[k]{1+a_{n}}=1, k\in \mathbb{N}.

Теорема:  

Если  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,~ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=b, причем  a<b, то
\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n}.

Доказательство:

Выберем  \varepsilon > 0  таким, чтобы \varepsilon-окрестности  точек а и не пересекались (возьмем, например,  \varepsilon =\frac{\left ( b-a \right )}{3}>0).  Согласно определению предела по заданному  \varepsilon можно найти номера  N_{1} и   N_{2} такие, что   x_{n}\in U_{\varepsilon}(a) при всех   n\geq N_{1} и    y_{n}\in U_{\varepsilon}(b) при всех   n\geq N_{2}. Пусть  N_{0}= max\left ( N, N_{2} \right ). Тогда при всех   n\geq N_{0} выполняются неравенства

x_{n}<a+\varepsilon <b-\varepsilon < y_{n}

откуда следует утверждение

\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n}.

Следствие: 

Если  \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,~ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=b, и  \forall n\in \mathbb{N}\rightarrow x_{n}\geq y_{n}  то

a\geq b.

Доказательство: 

Предположим, что неравенство   a\geq b не выполняется. Тогда a < b
и по предыдущей теореме справедливо утверждение

\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n},

которое противоречит  условию

 \forall n\in \mathbb{N}\rightarrow x_{n}\geq y_{n}.

Поэтому должно выполняться неравенство  a\geq b.

Замечание:  

В следствии  утверждается, что если соответствующие члены двух сходящихся последовательностей связаны знаком нестрогого неравенства, то такое же неравенство справедливо и для пределов этих последовательностей. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не сохраняется, т. е. если x_{n}>y_{n} при n\geq N_{0} и последовательности  \left \{ x_{n} \right \},\left \{ y_{n} \right \} сходятся, то   \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}.

Например:

Если  x_{n}=1+\frac{1}{n},~ y_{n}=1-\frac{1}{n},, то  x_{n}> y_{n},~ n\in \mathbb{N}, но

\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=1.

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.42-44

Сходящаяся последовательность

Таблица лучших: Сходящаяся последовательность

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности

Единственность предела последовательности.

Теорема: ( о единственности предела последовательности )

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказтельство: 

Предположим, что последовательность  X_{n} имеет два различных предела b и  a, причем      b < a.

2 Выберем   \varepsilon > 0 таким, чтобы \varepsilon-oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, \varepsilon = \frac{(a-b)}{3}. Так как число b — предел последовательности   X_{n} , то по заданному  \varepsilon > 0 можно найти номер N такой, что  X_{n}\in U_{\varepsilon }(b) для всех  n\geq N. Поэтому вне интервала   U_{\varepsilon }(b) может оказаться лишь конечное число членов  последовательности. В частности, интервал    U_{\varepsilon }(a) может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Ограниченность сходящейся последовательности

Последовательность  X_{n} называется ограниченной снизу, если существует такое число C_{1}, что все члены последовательности удовлетворяют условию  X_{n} \geq C_{1}, т. е.:

\exists C_{1}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\geq C_{1}

Последовательность  X_{n} называется ограниченной сверху, если:

\exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\leq C_{2}

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность  X_{n} называется ограниченной, если:

\exists C_{1}, \exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow C_{1}\leq X_{n}\leq C_{2}

это можно записать и так:

\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Примеры.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказтельство: 

Пусть последовательность X_{n} имеет предел, равный а. По определению предела для  \varepsilon = 1 найдем номер N такой, что при всех  n\geq N имеет место неравенство  \left | X_{n}-a \right | <1 . Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

\left | X_{n} \right | = \left | X_{n}-a+a \right |\leq \left | X_{n} -a\right |+\left | a \right |.

Поэтому при всех  n\geq N выполняется неравенство:

\left | X_{n} \right | < 1+\left | a \right |.

Положим  c= max\left ( 1+\left | a \right |, \left | X_{1} \right | , ... , \left | X_{N-1} \right |\right ), тогда \left | X_{n} \right | \leq C при всех  n\in \mathbb{N}, т. е. последовательность   X_{n} ограничена.

Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность \left \{ \left ( -1 \right )^{n} \right \} ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие  \exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C не выполняется, т. е.

\forall C> 0:\exists n_{C} \in \mathbb{N}: \left | X_{n_{C}} \right | > C,

то говорят, что последовательность  X_{n} не ограничена.

Пример:  Доказать, что последовательность  \left \{\frac{1}{y_{n}} \right \} является  ограниченной, если  \lim\limits_{n\rightarrow \infty } y_{n} = bb\not \neq 0 и  y_{n}\not\neq0, для всех  n\in \mathbb{N}.

Решение

Так как b\not \neq 0, то \left | b \right |> 0. По заданному числу  \varepsilon = \frac{\left |b \right |}{2}  в силу определения предела последовательности найдется номер N_{0} такой, что:

\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}.

Используя неравенство для модуля разности

\left | b \right |-\left | y_{n} \right |\leq \left | y_{n}-b \right |

и неравенство  \forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}, получаем \left | b \right |-\left | y_{n} \right |< \frac{\left | b \right |}{2},  откуда  \left | y_{n} \right |> \frac{\left | b \right |}{2}. И поэтому для всех  n\geq N_{0} справедливо неравенство  \left | \frac{1}{y_{n}} \right |<\frac{2}{\left | b \right |}.

Пусть C = max  \left (\left | \frac{1}{y_{1}} \right |,...,\left |\frac{1}{y_{N_{0-1}}} \right |,\frac{2}{\left | b \right |} \right ), для всех  n\in \mathbb{N} выполняется неравенство  \left | \frac{1}{y_{n}} \right | \leq C, т. е.  \left \{ \frac{1}{y_{n}} \right \} — ограниченная последовательность.

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.40-42

Единственность предела

Таблица лучших: Единственность предела

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение предела последовательности и ее геометрический смысл.

Предел последовательности

Последовательность — это функция натурального аргумента.

Последовательности вида:

x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

(x_n)  или  (x_n)_{n=1}^{\infty}

иногда используются фигурные скобки:

\{x_n\}_{n=1}^{\infty}.

Пример: числовые последовательности:

1) 1, 2,\dots, n,\dots;

2) 1, -1, 1, -1,\dots,(-1)^{n},\dots;

3) 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots ,\frac{1}{n}, \cdots ;

Определение. Число  a называется пределом последовательности \{x_n\}, если для каждого \varepsilon >0 существует такой номер  N_{\varepsilon }, что для всех  n>N_{\varepsilon } выполняется неравенство

\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon

Если  a — предел последовательности, то пишут : a=\lim\limits_{n \to \infty }{x_{n}}.

С помощью логических символов это определение можно записать  в виде:

\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}= a \right \} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists N_{\varepsilon }\in \mathbb{N}:\forall n \geq N_{\varepsilon }: \left | x_{n}-a \right |< \varepsilon.

Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Из определения следует, что последовательность \{ x_{n} \} имеет предел, равный  a, тогда и только тогда, когда последовательность \{ x_{n}-a \} имеет предел, равный нулю, т. е.:

\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =a \right \}\Leftrightarrow \left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n}-a) =0 \right \}

Пример: Пользуясь определением, найти предел последовательности  x_{n}, если:

x_{n}= \frac{n-1}{n}.

Решение:

Докажем, что   \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 . Так как   x_{n}=1-\frac{1}{n}, то \left | x_{n}-1 \right |=\frac{1}{n}. Возьмем произвольное число  \varepsilon > 0. Неравенство  \left | x_{n}-1 \right | < \varepsilon будет выполняться, если \frac{1}{n}< \varepsilon. Выберем в качестве N_{\varepsilon}  какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию  N_{\varepsilon}> \frac{1}{\varepsilon}, например, число  N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ] + 1. Тогда для всех  n\geq N_{\varepsilon } будет выполняться неравенство  \left | X_{n}-1 \right | = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N_{\varepsilon }} < \varepsilon . По определению предела это означает, что   \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 .

 Геометрический смысл предела

Согласно определению число a является пределом последовательности   x_{n} , если при всех  n\geq N_{\varepsilon } выполняется неравенство  \left | x_{n}-a \right | < \varepsilon которое можно записать в виде:

a-\varepsilon < x_{n}< a+\varepsilon

Другими словами, для каждого   \varepsilon > 0 найдется номер   N_{\varepsilon} , начиная с которого все члены последовательности   x_{n}  принадлежат интервалу \left ( a-\varepsilon ;a+\varepsilon \right ).

Этот интервал называют   \varepsilon-окрестностью точки aи обозначают  U_{\varepsilon }\left ( a \right ).

U_{\varepsilon }\left ( a \right )=\left \{ x: a-\varepsilon < x< a+\varepsilon \right \} = \left \{ x:\left | x-a \right | < \varepsilon \right \}.

Итак, число  a — предел последовательности  x_{n} , если для каждой  \varepsilon -окрестности точки  a найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов.

48

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема: «Предел последовательности » )
  2. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (с. 35-39)

Последовательность

Этот тест по теме: Предел последовательности.

Таблица лучших: Последовательность

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных