Бинарная алгебраическая операция. Исследование свойств операции

Определение

Бинарной алгебраической операцией (БАО), действующей на множестве $A$ называется отображение:

$*:A^2\rightarrow A$.

Примеры

  1. Операции $+$ и $\cdot$ на множествах $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$.
  2. В качестве множества $A$ в условиях вышеуказанного определения возьмём множество $\mathbb{Z}$, и определим $\forall a,b \in A\: a*b\overset{def}{=}(a+b)^2$. Тогда операция $*$ является бинарной алгебраической операцией.
  3. Операция $\backslash$ на множестве $\mathbb{R}$ не является БАО, т.к. нельзя делить на ноль. Но она является БАО на множестве $\mathbb{R}\backslash\{0\}$.
  4. Операция $*$, заданная на $\mathbb{Z}$ следующим образом —  $\forall a,b \in \mathbb{Z} \: a*b=a^b$ — не является алгебраичной, т.к. результат $1*(-3)=1^{-3} \notin \mathbb{Z}$.

Проверка на алгебраичность

Для того, чтобы проверить, является ли данное отображение бинарной алгебраической операцией, достаточно проверить три условия:

  1. Всюдуопределённость: $\forall a,b \in A\: \exists c = a*b$.
  2. Однозначность: $\forall a,b \in A\: \exists ! c = a*b$.
  3. Замкнутость: $\forall a,b \in A\: a*b = c \in A$.

Пример

Проверить, является ли отношение бинарной алгебраической операцией на множестве $\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}$, если $\forall a,b \in A\: a*b\overset{def}{=} a\cdot b (\mod 6)$ (умножение по модулю 6).

Так как множество, на котором задано отношение, конечно, мы можем построить таблицу Кэлли (таблицу значений).

Расположим по вертикали и горизонтали элементы множества $\mathbb{Z}_6$, а на их пересечении — результат операции $*$. Получим таблицу:

a*b 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1

Исходя из таблицы, видно, что область значения операции совпадает с исходным множеством $\mathbb{Z}_6$ (выполняется замкнутость), в каждой клетке только один результирующий элемент (выполняется однозначность), и каждая клетка непустая (выполняется всюдуопредлённость).

Следовательно, указанное отображение $*$ является бинарной алгебраической операцией на множестве $\mathbb{Z}_6$.

Свойства БАО

Бинарная алгебраическая операция может обладать такими свойствами:

  1. Бинарная алгебраическая операция $*$, заданная на множестве $A$ называется ассоциативной, если $\forall a_1, a_2, a_3 \in A\: (a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3)$.
  2. Бинарная алгебраическая операция $*$, заданная на множестве $A$ называется коммутативной, если $\forall a_1, a_2 \in A\: a_1*a_2 = a_2*a_1$.

Примеры

  1. Операции $+$, $\cdot$ на множествах $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{N}$ являются коммутативными и ассоциативными.
  2. Операция $\backslash$ на множестве $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ не является коммутативной.

Пример решения №1

Определить, является ли бинарная алгебраическая операция $*$ на множестве $\mathbb{Z}$ коммутативной и/или ассоциативной.

$\forall a,b \in \mathbb{Z} \: a*b \overset{def}{=} a(b+1)$

Очевидно, что $a(b+1) \ne b(a+1)$, следовательно, операция $*$ коммутативной не является. Проверим ассоциативность (фиксируя \forall a,b,c \in \mathbb{Z}):

$a*(b*c)=a*(b(c+1))=a(b(c+1)+1)=abc+ab+a$

В свою очередь,

$(a*b)*c=(a(b+1))*c=a(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+a$.

Видим, что $a*(b*c) \ne (a*b)*c$. Таким образом делаем вывод, что операция $*$ не ассоциативна.

Пример решения №2

Определить, является ли бинарная алгебраическая операция $*$ на множестве $\mathbb{Z}^2$ коммутативной и/или ассоциативной.

$\forall (a_1,a_2), (b_1, b_2) \in \mathbb{Z}^2 \: (a_1, a_2) * (b_1, b_2) \overset{def}{=} (a_1 b_1, a_2 b_1 + b_2)$

Рассмотрим при $\forall (a_1,a_2), (b_1, b_2), (c_1, c_2) \in \mathbb{Z}^2$:

$((a_1, a_2) * (b_1, b_2)) * (c_1, c_2) = (a_1 b_1 c_1, (a_2 b_1 + b_2)c_1 + c_2)$

$(a_1, a_2) * ((b_1, b_2) * (c_1, c_2)) = (a_1 b_1 c_1, (a_2 b_1 + b_2)c_1 + c_2)$

Исходя из этого, сделаем вывод, что операция $*$ является ассоциативной. Из вида операции, представленного в условии, очевидно, что $*$ не является коммутативной.

Список литературы

  1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
  2. А. Я. Овсянников —  Алгебраические операции (темы 1-4). Екатеринбург, Уральский федеральный университет.
  3. Воеводин В. В. — Линейная алгебра. Москва: Наука, 1974. (стр 9-13).

Бинарная алгебраическая операция

Тест предназначен для проверки знаний по теме «Алгебраическая операция. Исследование свойств операции».

Декартово произведение множеств

Определение

Декартовым (или прямым) произведением множеств $A$ и $B$ называется такое результирующее множество пар вида $(x,y)$, построенных таким образом, что первый элемент из множества $A$, а второй элемент пары —  из множества $B$. Общепринятое обозначение:

$ A\times B = \{(x,y)|x \in A, y \in B \}$

Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:

$ A\times B\times C = \{(x,y,z)|x \in A, y \in B, z \in C \}$

Произведения вида $  A\times A, A\times A\times A, A\times A\times A\times A$ и т.д. принято записывать в виде степени: $A^2, A^3, A^4$ (основание степени — множество-множитель, показатель — количество произведений). Читают такую запись как «декартов квадрат» (куб и т.д.). Существуют и другие варианты чтения для основных множеств. К примеру, $  \mathbb{R}^n$ принято читать как «эр энное».

Свойства

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

  1. Если $A, B$ — конечные множества, то $A\times B$ — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество.
  2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): $|A\times B| = |A| \cdot |B|$.
  3. $A^{np} \ne (A^n)^p$ — в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров $1\times np$, во втором же — как матрицу размеров $n\times p$.
  4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: $A\times B \ne B\times A$.
  5. Ассоциативный закон не выполняется: $(A\times B)\times C \ne A\times (B\times C)$.
  6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: $(A * B)\times C = (A\times C) * (B\times C), * \in \{\cap, \cup, \backslash \}$

Примеры

  1. Положим $ A = \{1,2\}, B = \{3, 4\}$. Тогда результат декартова произведения можно записать так: $  A\times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$, а $  B\times A = \{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)\}$
  2. Если в предыдущем примере положить $B=A$, очевидно, что $  A\times B = B\times A = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$
  3. Возьмём $  A = \{x \in \mathbb{R}|0\leq x \leq 5\}, B = \{x \in \mathbb{R}|5\leq x \leq 10\}$. Тогда $  A\times B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2|0\leq x \leq 5 \wedge 5\leq x \leq 10\}$
  4. Множества декартова произведения могут и не быть привычными числовыми множествами: $A = \{\circ, \diamond\}, B = \{2,8\}, A\times B = \{(\circ,2),(\circ,8),(\diamond,2),(\diamond,8)\}$
  5. Открыть пример показать
  6. Открыть пример показать

Сферы использования

С помощью декартова произведения множеств определяется понятие бинарного отношения. Кроме этого, декартово произведение используется очень часто для обозначения множества числовых наборов, особенно в математическом анализе.

Часто говорят, например, что некая функция $f$ действует следующим образом: $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ (числовая функция $n$ переменных).

Список литературы

  1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
  2. Ануфриенко С.А. — Введение в теорию множеств и комбинаторику. Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А.М. Горького, 1998 (стр. 11-13).

Декартово произведение множеств

Тест предназначен для проверки знаний по теме «Декартово произведение множеств».