M1417. Условия равнобедренности треугольника

Задача из журнала «Квант» (1994, №1)

Условие задачи:

На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны точки D и E. Известно, что равны отношения величин углов: \dfrac{\angle CDE}{\angle BDE} = \dfrac{\angle CED}{\angle AED}.
Верно ли, что треугольник ABC равнобедренный, если AE и BD

  1. медианы
  2. высоты
  3. биссектрисы этого треугольника?

Решение:

Ответ во всех трех случаях положителен.

  1. Рассмотрим треугольники ABC и ABE — с общим основанием AB и равными высотами: если, например угол A в ABD больше угла B в ABE, то угол DBA (в треугольнике DBA ) меньше угла EAB (в треугольнике EAB ). Значит, если \angle CDE > \angle CED, то \angle BDE < \angle AED — и равенство задачи невозможно.
    Замечание. Из приведенного рассуждения следует, что в любом треугольнике к большей стороне проведена меньшая медиана.
  2. Из условий следует, что треугольник ABC остроугольный.
    Поскольку \dfrac{{\alpha }_{1}}{\dfrac{\pi}{2}-{\alpha }_{1}} = \dfrac{{\beta}_{1}}{\dfrac{\pi}{2}-{\beta}_{1}}, то {\alpha }_{1}={\beta}_{1}.
    Значит, CD=CE, \Delta CDB=\Delta CEA, CB=CA.
    Можно рассуждать и по-другому. Опишем около четырехугольника CDEO, где O — точка пересечения AE и BD, окружность. Из равенства условия следует, что точка D делит полуокружность CDO в том же отношении,
    null
    что точка E — полуокружность CEO. Значит, DO=OE, \angle DCO = \angle ECO. Следовательно, \angle CAB = \angle CBA.
  3. Обозначим k=\dfrac {{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} (см.рисунок). Имеем:

    {\alpha }_{1}+{\beta}_{1}=\pi - \gamma;, {\alpha }_{2}+{\beta}_{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\gamma}{2}.
    Получили: {\alpha }_{1}+{\beta}_{1}=2({\alpha }_{2}+{\beta}_{2})=k{\alpha }_{2}+{\beta}_{2}). Отсюда k=2.
    Пусть биссектрисы углов CDE и CED пересекаются в точке {O}_{1}. Так как \angle {O}_{1}DE={\alpha}_{2}, \angle {O}_{1}ED={\beta}_{2}, то O{O}_{1} \perp DE. С другой стороны точки O и {O}_{1} лежат на биссектрисе угла C. Значит, в треугольнике CDE биссектриса угла C совпадает с высотой, {\alpha }_{1}={\beta}_{1}, \angle CAE=\angle CBD, т.е. \angle A = \angle B.

В.Сендеров