Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

Признак Вейерштрасса

Если для функционального ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x) можно указать такой сходящийся числовой ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n}, что для всех n\geq n_{0} и для всех x \in \varepsilon выполняется условие \left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n} то ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x) сходится абсолютно и равномерно на множестве E

Доказательство

Согласно условию \left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n} для любого n\geq n_{0}, любого p \in N и для каждого x \in \varepsilon выполняется неравенство \left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}. Из сходимости ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n} следует, что для него выполняется условие Коши, т.е. \forall \varepsilon > 0  \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq  N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow  \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k}  0  \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq  N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow  \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k}  0  \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq  N_{\varepsilon} \forall p \in N \forall x \in E \rightarrow  \left |\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}{u}_{k}(x)   \right | < \varepsilon , и в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда этот ряд сходится равномерно на множестве E.

Абсолютная сходимость ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x) для каждого x \in \varepsilon следует из правого неравенства \left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}

Признак Дирихле

Ряд \sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x)  сходится равномерно на множестве E, если выполняются условия:

  • последовательность \left \{B_{n} (x) \right \}, где B_{n} (x) =  \sum\limits_{n}^{k = 1}b_{k}(x), равномерно ограничена на множестве E, т.е. \exists M > 0: \forall x \in E \forall  n \in N \rightarrow \left |B_{n}  \right | \leq M
  • последовательность \left \{a_{n} (x) \right \} монотонна на множестве E, т.е.  \forall x \in E \forall  n \in N \rightarrow a_{n+1} (x)  \leq  a_{n} (x) и равномерно стремится к нулю, т.е. a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E

Доказательство

Воспользуемся оценкой \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x)  \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x)  \right | + \left |a_{n+p}(x)  \right |), полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов. Условие a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E означает, что \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E  \rightarrow  \left |a_{k}(x)  \right |  0: \forall x \in E \forall  n \in N \rightarrow \left |B_{n}  \right | \leq M, \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x)  \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x)  \right | + \left |a_{n+p}(x)  \right |) и \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E  \rightarrow  \left |a_{k}(x)  \right | < \frac{\varepsilon}{4M} следует, что для всех n \geq N_{\varepsilon}, для всех p \in N и для всех x \ in E выполняется неравенство \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_{k}(x)b_{k}(x)  \right | < \varepsilon, и в силу критерия Коши ряд \sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x)  сходится равномерно на множестве E.

Признак Абеля

Ряд \sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x)  сходится равномерно на множестве E, если выполняются условия:

  • ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x) сходится равномерно на множестве E;
  • последовательность \left \{a_{n} (x) \right \} монотонна на множестве E, т.е. \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow  a_{n+1}(x)\leq a_{n}(x) и равномерно ограничена, т.е.\exists M > 0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow  \left |a_{n}(x)  \right |\leq M

Доказательство

Обозначим B_{j}^{(n)}(x) = \sum\limits_{k=n+1}^{n+j}b_{k}(x). Тогда ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x) удовлетворяет условию Коши, т.е. \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq  N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x)  \right |  0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow  \left |a_{n}(x)  \right |\leq M и \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq  N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x)  \right | < \frac{\varepsilon}{3M}, получаем \left | \sigma  \right | 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall p \in N \forall  x \in E \rightarrow  \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x)  \right |< \varepsilon, и по критерию Коши ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x) сходится равномерно на множестве E.

Список литературы:

Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

Вопросы для усвоения темы :»Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле»


Таблица лучших: Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть заданы последовательность функций f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,... и функция f, определенные на множестве X. Будем говорить, что указанная последовательность сходится к функции f равномерно на множестве X, если для любого \varepsilon > 0 существует такой номер n_{\varepsilon}, что если n > n_{\varepsilon}, то для всех x \in X выполняется неравенство \left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon .

Последовательность f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,... называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на X.

Очевидно, что если последовательность f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,... равномерно сходится к функции f на множестве X, то она и просто сходится к этой функции на X.

Если последовательность \left\{f_{n} \right\} сходится на множестве X к функции f, то символически будем записывать это так: f_{n}\underset{x}{\rightarrow}f.

Если же эта последовательность равномерно сходится на X к функции f, то будем писать: f_{n}\underset{\underset{x}{\rightarrow}}{\rightarrow}f.

Заметим, что если последовательность f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,... просто сходится к функции f на множестве X, то это означает, что для любого \varepsilon > 0 и любого x \in X существует номер n_{0} = n_{0}\left(\varepsilon ,x \right), зависящий как от \varepsilon, так и от x, такой, что для всех номеров n > n_{0} имеет место неравенство \left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon .

my

Сущность равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого \varepsilon > 0 можно выбрать такой номер n > n_{\varepsilon}, зависящий только от заданного \varepsilon и не зависящий от выбора точки x \in X, что при n > n_{\varepsilon} неравенство \left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| < \varepsilon будет выполняться всюду на множестве X, т.е. «графики» функций f_{n} расположены в «\varepsilon — полоске» , окружающей график функции f(рис. 1).

Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого \varepsilon > 0 при всех достаточно больших n(а именно при n > n_{\varepsilon}) значение функций f_{n} приближают функцию f с погрешностью, меньшей \varepsilon, сразу на всем множестве X.

Запишем для наглядности определения сходящихся и равномерно сходящихся на множестве X последовательностей с помощью символов существования и всеобщности:

f_{n}\underset{x}{\rightarrow}f\overset{def }{\Leftrightarrow }\forall\varepsilon > 0   \forall  x \in X \exists  n_{\varepsilon } \forall n > n_{\varepsilon }:\left | f_{n}\left ( x \right ) -  f \left ( x \right ) \right | < \varepsilon
f_{n}\underset{\underset{x}{\rightarrow}}{\rightarrow}f\overset{def }{\Leftrightarrow }\exists n_{\varepsilon } \forall x \in X \forall n \forall n_{\varepsilon }: \left | f_{n}\left ( x \right ) -  f \left ( x \right ) \right | < \varepsilon

Пример

Последовательность 1,x, x^{2},...,x^{n},... на отрезке \left[0, q \right], 0 < q < 1, сходится равномерно к функции, тождественно равной нулю. Действительно, если 0 \leq  x \leq  q то 0 \leq  x ^{n}\leq  q^{n}, n  = 1,2,... .

Так как \lim_{n \rightarrow \infty} q^{n} =  0, то для любого фиксированного \varepsilon > 0 существует такое n_{\varepsilon}, что q^{n}  n_{\varepsilon}. В силу неравенства 0 \leq  x ^{n}\leq  q^{n}, n  = 1,2,... , 0 \leq  x^{n}  n_{\varepsilon} и всех x \in \left[0, q \right].

Теорема

Последовательность функций \left\{f_{n} \right\}, определенных на множестве X, равномерно сходится на этом множестве к функции f в том и только том случае, когда \lim_{n \rightarrow  \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right)  - f\left(x \right)\right| = 0.

Доказательство

Если соблюдены все условия сходимости функциональных последовательностей, то для каждого \varepsilon > 0 существует такой номер n_{\varepsilon}, что для всех n > n_{\varepsilon} и всех x \in X выполняется неравенство \left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right|  n_{\varepsilon} будем иметь \underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| \leq  \frac{\varepsilon }{2} <  \varepsilon  , а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия \lim_{n \rightarrow  \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right)  - f\left(x \right)\right| = 0.

Обратное: Если данное условие выполнено, то, по определению конечного предела последовательности элементов из \bar{R}, для любого \varepsilon > 0 существует такой номер n_{\varepsilon}, что для всех n > n_{\varepsilon} выполняется неравенство \underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| <  \varepsilon  .

Отсюда следует, что для всех n > n_{\varepsilon} и всех x \in X справедливо неравенство \left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right)\right| <  \varepsilon  , т.е. выполняются условия определения.

В силу того, что почти все члены последовательностей верхних граней \underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) - f\left(x \right), n = 1,2,... \right|  , для равномерно сходящихся последовательностей функций конечны, критерий \lim_{n \rightarrow  \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right)  - f\left(x \right)\right| = 0, по существу, сводит понятие равномерной сходимости функциональной последовательности к понятию сходимости числовой последовательности.

Список литературы:

Тест по теме «Равномерная сходимость функциональных последовательностей»


Таблица лучших: Равномерная сходимость функциональных последовательностей

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

М2026. О площадях треугольников, находящихся внутри квадрата


Задача из журнала «Квант»(2007,№4)

Условие

На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD выбраны, соответственно, точки P, M, N, Q так, что \angle MAN =45^{o}, PM||AN, AN||NQ. Отрезок PQ пересекает AM и AN в точках F и G соответственно. Докажите что площадь треугольника AFG равна сумме площадей треугольников FMP и GNQ.

Решение

2026
Прежде всего отметим, что \angle PMA = \angle MAN = \angle ANQ, и значит, треугольники AFG, MFP и NQG подобны (см. рисунок). Поэтому утверждение задачи равносильно равенству GF^{2} = PF^{2} + GQ^{2}. Далее, треугольники NQD и MPB подобны треугольникам AMB и AND соответственно, следовательно, \frac{QD}{ND}=\frac{BM}{AB}, \frac{ND}{AD}=\frac{BP}{BM}. Перемножив эти равенства, получим, что BP = DQ, или AP = AQ. Пусть X — точка, симметричная P относительно AM. Тогда AX = AP = AQ и \angle XAN =45^{o} - \angle MAP = \angle NAD, т.е. X также симметрична Q относительно AN. Таким образом, XF = FP, XG = GQ и \angle XFG + \angle XGF = 360^{o} - 2\angle PFM - 2\angle QGN = 90^{o}. Применив к прямоугольному треугольнику XFG теорему Пифагора, получим искомое равенство.