Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях на компактных множествах

Первая теорема Вейерштрасса

Пусть K — компакт в \mathbb{R}^{n} и функция f: K\rightarrow \mathbb{R}^{m} непрерывна на K. Тогда эта функция ограничена на K.

Доказательство

В силу непрерывности f, для любого x\in K найдётся окрестность U_{x}, такая что функция f ограничена на множестве U_{x}, то есть для каждого y\in K \cap U_{x} справедливо неравенство \begin{Vmatrix} f(y) \end{Vmatrix}\leq M_{x}, где M_{x} зависит от x. Совокупность открытых шаров U_{x} образует открытое покрытие компактного множества K. В силу компактности, из него можно выделить конечное подпокрытие U_{x_{1}}, ..., U_{x_{p}}. Этим шарам соответствуют числа M_{x_{1}}, ..., M_{x_{p}}. На каждом и этих шаров функция f ограничена этим числом. Пускай M=\max_{1\leq i\leq p}M_{x_{i}}. Тогда для любого x\in K получим, что \begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M.

Пусть функция f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} непрерывна на \left[a, b \right]. По первой теореме Вейерштрасса эта функция ограничена на \left[a, b \right].

Vey1

Вторая теорема Вейерштрасса

Пусть f: K\rightarrow \mathbb{R} — действительная непрерывная функция на компакте K\subset \mathbb{R}^{n}. Тогда на этом множестве функция f достигает своей верхней и нижней границы, то есть существуют такие x^{'}, x^{''}\in K, что

f(x^{'})=\sup_{x\in E}f\left(x \right), f(x^{''})=\inf_{x\in E}f\left(x \right).

Доказательство

Пусть f: E\rightarrow \mathbb{R}, где E\subset \mathbb{R}^{n}. Функция f называется ограниченной сверху на множестве E, если существует такая постоянная M, то для всех x\in E справедливо неравенство \begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M. Каждое такое число M называется верхней границей функции f, а наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей или верхней гранью функции f и обозначается \sup_{x\in E}f\left(x \right).

Пойдём от противного. Допустим, верхняя грань не достигается, то есть для каждого x\in K справедливо неравенство f(x)<M, где M — верхняя грань функции f на K.

Рассмотрим функцию \varphi (x)=\frac{1}{M-f(x)}. Эта функция положительна и непрерывна в каждой точке x\in K. По ранее доказанной первой теореме Вейерштрасса она ограничена, то есть существует такое число \mu >0, что \varphi (x)\leq \mu для любого x\in K. Это означает, что \frac{1}{M-f(x)}\leq \mu, или, что то же самое, f(x)\leq M-\frac{1}{\mu}(x\in K). Следовательно, число M-\frac{1}{\mu} является верхней границей для функции f. Но так как \mu >0, то это противоречит тому, что M является верхней гранью функции f, то есть наименьшей из всех верхних границ.

Аналогично теорема доказывается и для нижней грани.

Пусть функция f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} непрерывна на \left[a, b \right]. Тогда на этом множестве функция f достигает своей верхней и нижней граней M=f(x^{''})=\sup_{x\in E}f\left(x \right), m=f(x^{'})=\inf_{x\in E}f\left(x \right).

Vey2

Пример

Пусть f(x,y)=x^{5}+y^{4}+2x^{3}y^{2}+1. Будет ли f ограничена на \left[5, 7 \right]\times\left[8,9 \right]?

Ответ показать

Тест на знание теорем Вейерштрасса о непрерывных функциях на компакте

Тест поможет понять, как хорошо вы усвоили приведённый выше материал.

Критерий Сильвестра

Формулировка

Квадратичная форма Q\left(x \right) в \mathbb{R}^{n} положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы B, имеющие вид

\Delta_{m}=\begin{vmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&...&b_{1,m}\\b_{2,1}&b_{2,2}&...&b_{2,m}\\...&...&...&...\\b_{m,1}&b_{m,2}&...&b_{m,m}\end{vmatrix},m=1,...,n\left(b_{ij}=b_{ji}, \forall i,j\right),

— положительны.

Доказательство

Достаточность

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции и вспомогательной леммой.

Лемма

Квадратичная форма тогда и только тогда является положительно определённой, когда она приводится к диагональному виду \sum_{i=1}^{n}{a_{i}x_{i}^{2}}, a_{i}>0, i=1,...,n , а значит, и к каноническому виду Q\left(y \right)=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}}, где y_{i}=\sqrt{a_{i}}x_{i}, i=1,...,n.

База индукции

Для n=1 достаточность очевидна.

Предположение индукции

Положим, что для n>1 из положительности главных миноров матрицы квадратичной формы n-1 порядка включительно следует возможность приведения квадратичной формы от n-1 переменных x_{1}, x_{2},...,x_{n-1} к виду Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}.

Шаг индукции

Покажем, что достаточность имеет место и для квадратичной формы, зависящей от n переменных.

В выражении для квадратичной формы, зависящей от n переменных x_{1}, x_{2},...,x_{n-1}, x_{n}, выделим слагаемые, содержащие x_{n}:

Q\left(x \right)=\sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}+2\sum_{j=1}^{n-1}{b_{jn}x_{j}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}.

Сумма \sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}=Q^{*}\left(x_{1}, x_{2},...,x_{n-1} \right) в правой части этого равенства является квадратичной формой Q^{*}\left(x \right), зависящей от n-1 переменной, причём её главные миноры совпадают с главными минорами Q\left(x \right) её матрицы до порядка n-1 включительно, которые положительны по условию.

Следовательно, по предположению индукции, квадратичная форма Q^{*}\left(x \right) положительно определённа и для неё существует невырожденная замена переменных

x_{i}=\sum_{i=1}^{n-1}{\gamma _{ji}y_{i}}, j=1,...,n-1,

приводящая её к каноническому виду: Q^{*}\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}.
Запишем квадратичную форму Q\left(x \right) в новых переменных:

Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}+2\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'}y_{i}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}

и выделим полные квадраты по y_{1}, ... y_{n-1}:

Q(x)=\sum_{i=1}^{n-1}{(y_{i}^{2}+2b_{in}^{'}y_{i}x_{n}+b_{in}^{'2}x_{n}^{2})}+(b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'2}})x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n-1}{z_{i}^{2}}+b_{nn}^{''}x_{n}^{2},

где b_{nn}^{''}=b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'2}}, z_{i}=y_{i}+b_{in}^{'}x_{n}, i=1,...,n-1.

В матричном виде эту замену переменных можно описать как

\begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ ...\\ z_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0  &...  &0  &b'_{1,n} \\  0& 1 & ... & 0 & b'_{2,n}\\  ...&  ...& ... &...  &... \\ 0 & 0 & ... &  1& b'_{n-1,n}\\  0& 0 & ... & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix},

и поскольку её определитель отличен от нуля, то эта замена невырожденная.

Наконец, определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при замене базиса. Определитель матрицы B квадратичной формы в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель является главным минором порядка n. Но из выражения для Q \left(x \right) в конечно базисе мы получаем, что определитель квадратичной формы Q \left(x \right) равен b''_{nn}. Поэтому b''_{nn}>0 и можно ввести переменную z_{n}=\sqrt{b''_{nn}}x_{n}, в результате чего получаем канонический вид квадратичной формы Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}.

Отсюда следует, что квадратичная форма Q\left(x \right) положительно определена.

Достаточность доказана.

Необходимость

Дано, что квадратичная функция положительно определена, нужно доказать положительность главных миноров её матрицы. Снова применим метод математической индукции по числу переменных n.

База индукции

Для n=1 достаточность очевидна.

Предположение индукции

Пусть для n>1 и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно.

Шаг индукции

Поскольку квадратичная форма Q^{*}\left(x \right) из доказательства достаточности также является положительно определённой, то по предположению индукции следует, что её главные миноры, совпадающие с главными минорами матрицы B до порядка n>1, положительны. А определитель самой матрицы B, который является главным минором порядка n,положителен, поскольку Q\left(x \right) приводится к каноническому виду Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}, и определитель матрицы полученной при этом квадратичной формы равен 1 и имеет такой же знак, как и определитель матрицы B.

Необходимость доказана.

Теорема доказана.

Следствие

Для того, чтобы квадратичная форма Q\left(x \right) в \mathbb{R}^{n} была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы B имели чередующиеся знаки, начиная с минуса.

Примеры

При решении воспользоваться критерием Сильвестра.

Пример 1

Определить вид квадратичной формы Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}.

Пример 2

Определить вид квадратичной формы Q\left(x_{1},x_{2},x_{3} \right)=-4x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}-x_{3}^{2}


Ответ: Пример 1 показать

Ответ: Пример 2 показать

Литература

Тест на умение применить критерий Сильвестра

Тест на умение применить критерий Сильвестра для определения вида квадратичных форм.

Знакоопределённые квадратичные формы

Определение

Квадратичная форма называется знакоопределённой, если она положительно определённая или отрицательно определённая.

Пусть x \in \mathbb{R}^{n}.

Квадратичная форма Q называется положительно определённой если для любого x\neq 0 справедливо неравенство Q\left(x \right)>0.

Аналогично, если для любого x\neq 0 имеем Q\left(x \right)<0, то такая квадратичная форма называется отрицательно определённой.

Примеры

Пример 1

Является ли квадратичная форма Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2} знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Пример 2

Является ли квадратичная форма Q\left(x_{1},x_{2},...,x_{n} \right)=x_{1}^{2}+...+x_{m }^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{n}^{2}, где \left(m<n\right), знакоопределённой? Если да, то какой именно?


Ответ: Пример 1 показать

Ответ: Пример 2 показать

Тест на знание знакоопределённой квадратичной формы

Тест на умение распознать вид квадратичной формы.

Определение квадратичной формы

Определение

Квадратичной формой Q\left(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \right) от n неизвестных x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при x_{i}^{2} через a_{ii}, а при произведении x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\left(i\neq j \right) — через a_{ij}+a_{ji}\left(a_{ij}=a_{ji} \right), квадратичную форму Q можно представить в виде

Q\left(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \right) = a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+...+a_{1n}x_{1}x_{n}+...+a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_{i}x_{j}}}

Симметричная матрица A= \left(a_{ij} \right) называется матрицей квадратичной формы Q.

Примеры

Пример 1

Написать матрицу квадратичной формы.
Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = 2x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}+8x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3}

Пример 2

Написать квадратичную форму по её матрице.
A=\begin{pmatrix}4 & 0& 2\\ 0& 7 & 1\\ 2&1 &-5 \end{pmatrix}


Ответ: Пример 1 показать

Ответ: Пример 2 показать

Тест на знание квадратичной формы

Тест на умение распознать квадратичную форму и составить для неё матрицу квадратичной формы, а также наоборот — написать квадратичную форму по её матрице.

M1589. О свойстве 5-раскрашиваемой карты

Задача из журнала «Квант» (1997, №2)

Условие

Докажите, что как бы ни раскрасить плоскость в 5 цветов, найдутся 2 точки одного цвета, расстояние между которыми отличается от одного не более чем на 0,001.

Решение

Начнём с того, что, поскольку мы должны найти две точки на расстоянии 1 лишь «с точностью до любого \varepsilon», мы можем ограничиться лишь раскрасками сравнительно простых «карт». В самом деле, нарисуем на плоскости мелкую сетку из квадратов или, удобнее, правильных шестиугольников со стороной \varepsilon /4 и раскрасим каждую шестиугольную клетку в тот цвет, который имел в первоначальной раскраске её центр.

Если мы найдём такие точки A, B «с точностью до \varepsilon /2» на новой карте, то центры A^{'}, B^{'} клеток, которым принадлежат A и B, удовлетворяют условию «с точностью до \varepsilon»: ведь \left|AB - A^{'}B^{'}\right|\leq 2\cdot \varepsilon /4\leq \varepsilon /2, так что если \left|1-AB \right|\leq \varepsilon /2, то \left|1-A^{'}B^{'} \right|\leq \varepsilon. Мы можем считать при этом, что границы клеток раскрашены в два (а вершины — в три) цвета.

Предположим, что для некоторой раскраски (и некоторого \varepsilon) утверждение задачи неверно. Рассмотрим случай, когда некоторые три клетки разного цвета имеют общую вершину X. Пусть эти три цвета — Красный, Синий и Белый. Тогда кольцо радиусом 1 с центром X шириной \varepsilon должно быть целиком покрашено в два других цвета- скажем, Чёрный и Зелёный. Если оно целиком одного цвета — Ч, то, очевидно, на нём есть две точки этого цвета на расстоянии 1. В другом случае на кольце есть точка Y двух цветов: Ч и З; тогда достаточно рассмотреть точки кольца на расстоянии 1 от Y (см. рисунок).

M1589

Осталось рассмотреть случай, когда никакие три разных цвета не сходятся вместе. Тогда граница области каждого цвета должна иметь какой-то один определённый цвет — иначе, идя по границе, мы должны были бы наткнуться на тройную точку. Рассмотрим некоторую точку X на границе двух цветов, скажем цветов К и С. Кольцо радиусом 1 (шириной \varepsilon) и центром Y имеет цвета К, С, З. Рассмотрим Зелёную область, содержащую одну из точек пересечения двух колец. У неё не может быть границы одного цвета: в одном из колец она имеет цвета Ч или Б, в другом — К или С. Получили противоречие, завершающее решение.

Замечание

Известна следующая проблема. Плоскость раскрашена в n цветов. При каком n обязательно найдутся две точки на единичном расстоянии? Нетрудно показать справедливость этого утверждения при n=3. При n=7 относительно легко строится контрпример (конструкция типа пчелиных сот). Недавно был построен контрпример при n=6. Про n=4,5 ничего не известно. Известно только, что если раскраска, не допускающая единичных расстояний, существует, то некоторые множества точек одного цвета неизмеримы.

Если же требовать «почти единичных расстояний», то точный ответ таков: n=5 (это следует из построенного ранее контрпримера).

А. Канель