Задача из журнала «Квант» (2001 год, 1 выпуск) M1740

Условие

Натуральные числа $а,$ $b$ и $с$ таковы, что $a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.$

Докажите, что каждое из четырех чисел $ab,bc,ca$ и $ab+bc+ca$ является квадратом.

Решение

Можно записать:

$$a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ca,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$$

или иначе:

$$(a+b+c)^2=4(ab+bc+ca).$$

Значит, число $ab + bc + ca$ является квадратом. Равенство $(*)$ можно истолковать как квадратное уравнение относительно $с.$

Поэтому

$$c=(a+b)\pm \sqrt{ab}.$$

Значит, число $ab$ является квадратом. Точно так же убеждаемся, что числа $bc$ и $ca$ – тоже квадраты.

В.Произволов

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 1 выпуск) M1739

Условие

Пусть $A$ – произвольная четная цифра, $B$ –произвольная нечетная цифра. Докажите, что существует натуральное число, делящееся на $2^{2000},$ каждая цифра которого – либо $A,$ либо $B.$

Решение

Укажем способ составления из цифр $A$ и $B$ числа, делящегося на $2^n$ для любого натурального $n.$ Обозначим такое число $G_n.$ При $n = 1$ полагаем $G_n=G_1= A.$ Пусть построено число $G_k$ при $n=k \geqslant 1.$ Воспользуемся им при построении следующего числа $G_{k+1},$ делящегося на $2^{k+1}$.

Если $G_k$ делится на $2^{k+1},$ то полагаем $G_{k+1}=G_k,$ в противном случае построим вспомогательное число $F_k$ , обладающее следующими свойствами: число $F_k$ составлено из цифр $A$ и $B$, делится на $2^k$ и имеет в своей десятичной записи ровно $k$ цифр.

Если $G_k$ имеет в своей записи ровно $k$ цифр, то полагаем $F_k=G_k$.

Если в записи $G_k$ более $k$ цифр, положим $F_k$ равным числу, получающемуся из $G_k$ отбрасыванием старших цифр, начиная с $(k + 1)$-й. По признаку делимости на $2^k,$ полученное из $G_k$ после такой операции число $F_k$ будет также делиться на $2^k$.

Если в записи $G_k$ менее $k$ цифр, припишем к числу $G_k$ слева его же несколько раз таким образом, чтобы в результате получилось число, в записи которого не менее $k$ цифр. Это число делится на $G_k$ и, следовательно, на $2^k.$ Если из него отбросить все старшие цифры, начиная с $(k + 1)$-й, то в результате получим число $F_k,$ которое, по признаку делимости на $2^k,$ также делится на $2^k.$

Если число $F_k$ делится на $2^{k+1},$ то полагаем $G_{k+1}=F_k,$ в противном случае полагаем $G_{k+1}=\overline{B F_k},$ приписав к числу $F_k$ число $B$ слева. Положив $F_k=2^k p,$ где $p$ – некоторое нечетное число, получаем $G_{k+1}=10^k B+2^k p=2^k (5^k B + p).$ В скобках стоит четное число, поэтому $G_{k+1}$ делится на $2^{k+1}.$

И.Акулич, А.Жуков

6.1 Определение и простейшие свойства неопределенного интеграла

Пусть функция $f$ дифференцируема в некоторой точке $x$. Тогда, согласно определению дифференцируемости и свойствам производной, справедливо равенство $$f\left(x + \Delta x\right) − f \left(x\right) = f’\left(x\right) \Delta x + \overline{o}\left(\Delta x\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left(\Delta x \to 0\right).$$ Левая часть этого равенства называется приращением функции $f$ в точке $x,$ соответствующим приращению $\Delta x$ независимой переменной в точке $x,$ и обозначается $\Delta f \equiv \Delta f \left(x\right) = f \left(x + \Delta x\right) − f \left(x\right).$ Таким образом, приращение $\Delta f \left(x\right)$ дифференцируемой в точке $x$ функции $f$ состоит из двух слагаемых: $f’\left(x\right) \Delta x $ и $\overline{o}\left(\Delta x\right)$ При этом главную часть этого приращения составляет первое слагаемое (за исключением случая, когда $f’\left(x\right)=0$).
Итак, мы приходим к следующему определению.

Определение. Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $x.$ Линейная функция $dy=f’\left(x\right)dx$ переменной $dx$ называется дифференциалом функции $f$ в точке $x$ и обозначается
$$df=f’\left(x\right)dx.$$ Если в определении дифференциала переменную $x$ считать зависимой от другой переменной $x = x(t)$, то для функции $g(t)=f(x(t))$ будем иметь

$$df\left(t\right)=df\left(x\left(t\right)\right)=dg\left(t\right)=g’\left(t\right)dt=f’\left(x\left(t\right)\right)x’\left(t\right)dt=f’\left(x\right)dx.$$ Получили, что форма дифференциала функции не зависит от того, является ли переменная $x$ зависимой, или независимой. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала. Свойства дифференциала определяются свойствами производных и правилами дифференцирования. Например,
$$d\left(uv\right)=\left(u’\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v’\left(x\right)\right)dx=u\left(x\right)dv\left(x\right)+v\left(x\right)du\left(x\right),$$
или, короче,
$$d\left(uv\right)=udv+vdu.$$
Аналогично имеем
$$d\left(\frac{u}v\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}.$$
В дальнейшем при изучении функций многих переменных мы остановимся на понятии дифференциала более подробно. Напомним, что функция $f$ называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Определение. Пусть функция $f$ определена на интервале $I$. Если существует функция $F$, дифференцируемая на интервале $I$ и такая, что $F’\left(x\right)=f\left(x\right)$ для всех $x \in I$, то функция $F$ называется первообразной (или примитивной) для функции $f$ на этом интервале. Например, $$f\left(x\right)=2xe^{x^2}, F\left(x\right)=e^{x^2}\,\,\,\,\left(-\infty<x<+\infty\right).$$
Если для функции $f$ существует одна первообразная, то существует бесконечно много первообразных. Действительно, каждая функция вида $F(x)+C,$ где $C$ — постоянная, также является первообразной, поскольку

$$\left(F\left(x\right)+C\right)’=F’\left(x\right)=f\left(x\right).$$
Ниже будет доказана следующая.

Теорема. Каждая непрерывная на интервале функция имеет первообразную на этом интервале.

Пример. Пусть $f\left(x\right)=|x|, x \in \left(-\infty,+\infty\right).$ Тогда $F\left(x\right)=\frac{x^2}2$ при $x>0$ и $F\left(x\right)=-\frac{x^2}2$ при $x<0.$ Легко проверить, что для функции $F\left(x\right)=-\frac{x^2}2 sign\, x\,\,\,\,\left(-\infty<x<\infty\right)$ справедливо также равенство $F’\left(0\right)=0=|0|=f\left(0\right),$ так что $F$ — первообразная для $f.$

Теорема. Если функция $f$ имеет первообразную на интервале $I,$ то разность двух любых ее первообразных тождественно постоянна на этом интервале.

Пусть $F_1,F_2$ — две первообразные для функции $f.$ Тогда ${F’}_1\left(x\right)=f\left(x\right)$ и ${F’}_2\left(x\right)=f\left(x\right)$ для всех $x \in I$ справедливо равенство $\left(F_1-F_2\right)’\left(x\right)=0.$ Поэтому, в силу следствия из теоремы Лагранжа, разность $F_1 − F_2$ – тождественно постоянная функция, что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что все первообразные можно описать равенством $F\left(x\right)+C$, где $F\left(x\right)$ — одна из первообразных.

Определение. Совокупность всех первообразных функции $f$ называется неопределенным интегралом от функции $f$ и обозначается $\int f\left(x\right)dx$. При этом сама функция $f\left(x\right)$ называется подынтегральной функцией, а $f\left(x\right)dx$ называется подынтегральным выражением. Как было сказано выше, если $F\left(x\right)$ – одна из первообразных функции $f\left(x\right),$ то справедливо следующее равенство:

$$\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C$$
где $C$ – постоянная.
Операция нахождения первообразных называется интегрированием. Отметим, что определение первообразной не является конструктивным, как, например, определение производной. Действительно, в определении производной дается правило ее вычисления, а в определении первообразной – только свойство, которым она должна обладать. Такое определение называется дескриптивным.

Простейшие свойства неопределенного интеграла.

1. Если функция $F$ дифференцируема на интервале $I,$ то
$$\int F’\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C.$$
Это сразу следует из определения первообразной.

2. Если $\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C $ и $\int g\left(x\right)dx = G\left(x\right) + C$, то $\int [f\left(x\right) + g\left(x\right)]dx= F\left(x\right) + G\left(x\right) + C,$ или, что то же самое,
$\int [f\left(x\right) + g\left(x\right)]dx =\int f\left(x\right)dx + \int g\left(x\right)dx$
Действительно, при наших предположениях имеет место равенство
$$\left(F\left(x\right) + G\left(x\right)\right)0 = F’\left(x\right) + G’\left(x\right) = f\left(x\right) + g\left(x\right).$$

3. Если $\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C,$ то для любого действительного числа $α \neq 0$ $\int [αf\left(x\right)]dx = αF\left(x\right) + C,$ или, что то же самое,
$$\int [αf\left(x\right)]dx = α\int f\left(x\right)dx.$$
Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при $α = 0$ оно неверно по той причине, что в левой его части совокупность всех постоянных, а в правой – тождественный нуль.

4. Если $\int f\left(t\right)dt = F\left(t\right) + C,$ то для любого $a \neq 0$ и для любого $b$
$\int f\left(ax + b\right)dx = \frac{1}aF’\left(ax + b\right) + C.$
Действительно,
$\biggl[\frac{1}aF\left(ax+b\right)\biggr]’=\frac{1}aF’\left(ax+b\right)·a=f\left(ax+b\right).$

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

  1. $\int \left(x^2-4x\right)dx=$
    Решение

    $=\int x^2dx-\int 4xdx=\frac{x^3}3-\frac{4x^2}2+C=\frac{x^3}3-2x^2+C$

  2. $\int \left(\frac 1{\sqrt[3]{x^2}}\right)dx=$
    Решение

    $=\int x^{\frac{-2}{3}}dx=3\sqrt[3]{x}+C$

  3. $\int \cos\left(2x+3\right)dx=$
    Решение

    $=\frac{1}2\sin\left(2x+3\right)+C$

  4. $\int \left(3\sin x+\frac{10}x\right)dx=$
    Решение

    $=\int 3\sin xdx+\int \frac {10}xdx=-3\cos x+10 \ln|x|+C$

Неопределенный интеграл и его простейшие свойства

Данный тест поможет вам лучше разобраться с темой.

Литература

Смотрите также