Пусть дана гладкая кривая , которая задана уравнением в координатной форме, то есть
и пусть функция
непрерывна вдоль кривой
. Тогда существует криволинейный интеграл первого рода
и выполняется равенство:
$${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\,dt.$$
Замечания:
- Если
и
непрерывно дифференцируема на отрезке
и существует криволинейный интеграл первого рода
, то выполняется равенство:
$${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x, \psi(x))\sqrt{1 +(\psi'(x))^2}\,dx.$$ - Если
, то
$$ { \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(\varphi (y), y)\sqrt{1 +(\varphi'(y))^2}\,dy.$$
Пример ^Cпоказать> Вычислить криволинейный интеграл первого рода $$I = { \underset { \Gamma }{ \int } }(x+y)\,ds,$$
где кривая— граница треугольника с вершинами
,
,
.
Пусть
,
,
— криволинейные интегралы первого рода от функции
по отрезкам
,
,
. Отрезок
задан уравнением
,
. Тогда
$$I_2 = \overset {1}{ \underset {0}{ \int }}(y+1)\,dy = \frac{3}{2}.$$
Отрезокзадан уравнением
,
. Тогда
$$I_3 = \overset {1}{ \underset {0}{ \int }}2x\sqrt{2}\,dx = \sqrt{2}.$$
Отрезокзадан уравнением
,
. Тогда
$$I_1= \overset {1}{ \underset {0}{ \int }}x\,dx = \frac{1}{2}.$$
Отсюда следует, что.
.
- В случае, если кривая
задана в полярной системе координат, то есть
и
непрерывно дифференцируема на отрезке
, то выполняется равенство:
$${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\varphi_2}{ \underset {\varphi_1}{ \int }} f(r(\varphi) \cos\varphi, r(\varphi) \sin\varphi)\sqrt{{r}^2(\varphi) + {(r'(\varphi))^2}}\,d\varphi.$$
Пример ^Cпоказать> Вычислить криволинейный интеграл первого рода
, где кривая
задана уравнением
.
Решение
Совершим переход к полярной системе координат, тогда
,
. В этом случае уравнение кривой можно записать в следующем виде:
,
.
Для того, чтобы вычислить криволинейный интеграл первого рода воспользуемся равенством:
$${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\varphi_2}{ \underset {\varphi_1}{ \int }} f(r(\varphi) \cos\varphi, r(\varphi) \sin\varphi)\sqrt{{r}^2(\varphi) + {r’}^2(\varphi)}\,d\varphi.$$
Поскольку,
\(\sqrt{x^2 + y^2} = r = a^2\cos2\varphi\), \(\sqrt{r^2 + r’^2} = a^2\sqrt{1+3\sin^22\varphi }\),
то
\({ \underset {\Gamma}{ \int }}\sqrt{x^2 + y^2}\,ds = { \underset {\varphi\in\Phi}{ \int }}a^4\cos2\varphi\sqrt{1 + 3\sin^22\varphi}\,d\varphi = \)
\(=\frac{2a^4}{2\sqrt{3}}\overset {\frac{\pi}{4}}{ \underset {-\frac{\pi}{4}}{ \int }}\sqrt{1 + 3\sin^22\varphi }\,d(\sqrt{3}\sin2\varphi) = 2a^4 + \frac{a^4}{\sqrt{3}}\ln(\sqrt{3}+2)\).
Литература
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, том 2, стр. 494-498
- Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу. Том 3. — 2-е изд., 2003 г. стр. 255-256, 259
- Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. — 4-е изд., 2001 г. стр. 321
Тест
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
Информация
Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Рубрики
- Математический анализ 0%
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||
- 1
- 2
- 3
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 1Какие условия гарантируют выполнение равенства ${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\,dt$
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 1Вычислить криволинейный интеграл первого рода ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}})\,dl$, где кривая $\Gamma$ — астроида $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$
Правильно
Запишем параметрическое уравнение астроиды: $x = a\cos^3t$, $y = a\sin^3t$, $0\leq t\leq 2\pi$. Так как $x’ = -3a\cos^2t\sin{t}$, $y’ = 3a\cos{t}\sin^2{t}$, то $x’^2 + y’^2 = 9a^2\cos^2t\sin^2t$. Тогда
${ \underset {\Gamma}{ \int }}(x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}})\,dl = \overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}a^\frac{4}{3}(\cos^4t + \sin^4t)3a|\cos{t}\sin{t}|\,dt=$
$=12a^\frac{7}{3}\overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}(\cos^5t\sin{t} + \sin^5t)\,dt =$
$ =12a^\frac{7}{3}\left (-\frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} + \frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} \right ) = 4a^{7/3}$Неправильно
Запишем параметрическое уравнение астроиды: $x = a\cos^3t$, $y = a\sin^3t$, $0\leq t\leq 2\pi$. Так как $x’ = -3a\cos^2t\sin{t}$, $y’ = 3a\cos{t}\sin^2{t}$, то $x’^2 + y’^2 = 9a^2\cos^2t\sin^2t$. Тогда
${ \underset {\Gamma}{ \int }}(x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}})\,dl = \overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}a^\frac{4}{3}(\cos^4t + \sin^4t)3a|\cos{t}\sin{t}|\,dt=$
$=12a^\frac{7}{3}\overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}(\cos^5t\sin{t} + \sin^5t)\,dt =$
$ =12a^\frac{7}{3}\left (-\frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} + \frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} \right ) = 4a^{7/3}$ -
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 1Разместить значения интегралов в порядке убывания:
-
${ \underset { \Gamma }{ \int } } (2x + 4y-4z+7 )\,ds$, где $\Gamma$ - отрезок прямой между точками $M_1(8, 9,3)$ и $M_2(6, 10,5)$
-
${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds$, где $\Gamma$ - окружность $x^2 + y^2 = R$
-
${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds$ по дуге окружности $x(t) = \cos t$, $y(t) = \sin t$, $\frac{\pi}{2}\leq t\leq \pi$
Правильно
${ \underset { \Gamma }{ \int } } (2x + 4y-4z+7 )\,ds = 129$
${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = 0$, где $\Gamma$ — окружность $x^2 + y^2 = R$
${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = -\frac{1}{2}$
Неправильно
${ \underset { \Gamma }{ \int } } (2x + 4y-4z+7 )\,ds = 129$
${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = 0$, где $\Gamma$ — окружность $x^2 + y^2 = R$
${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = -\frac{1}{2}$
-
Таблица лучших: Криволинейные интегралы. Вычисление
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||
Поделиться ссылкой:
- Нажмите здесь, чтобы поделиться контентом на Facebook. (Открывается в новом окне)
- Нажмите, чтобы поделиться в Google+ (Открывается в новом окне)
- Нажмите, чтобы поделиться на LinkedIn (Открывается в новом окне)
- Нажмите, чтобы поделиться на Twitter (Открывается в новом окне)
- Нажмите, чтобы поделиться на Reddit (Открывается в новом окне)
- Нажмите для печати (Открывается в новом окне)