Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Пусть дана гладкая кривая \Gamma, которая задана уравнением в координатной форме, то есть \Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \} и пусть функция f(x, y, z) непрерывна вдоль кривой \Gamma. Тогда существует криволинейный интеграл первого рода \int_{\Gamma}f(x, y, z)ds и выполняется равенство:
$${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\,dt.$$

Замечания:

  • Если \Gamma =\left \{ y = \psi(x), \alpha \leq x\leq \beta \right \} и y = \psi(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b] и существует криволинейный интеграл первого рода \int_{\Gamma}f(x, y)ds, то выполняется равенство:
    $${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x, \psi(x))\sqrt{1 +(\psi'(x))^2}\,dx.$$
  • Если \Gamma =\left \{ x = \varphi  (y), \alpha \leq y\leq \beta \right \}, то
    $$ { \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(\varphi (y), y)\sqrt{1 +(\varphi'(y))^2}\,dy.$$


    Пример показать
    .
  • В случае, если кривая \Gamma задана в полярной системе координат, то есть \Gamma = \left \{ \left. r = r(\varphi), \varphi_1\leq \varphi \leq \varphi _2 \right \} \right. и r(\varphi) непрерывно дифференцируема на отрезке [\varphi_1, \varphi_2], то выполняется равенство:
    $${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\varphi_2}{ \underset {\varphi_1}{ \int }} f(r(\varphi) \cos\varphi, r(\varphi) \sin\varphi)\sqrt{{r}^2(\varphi) + {(r'(\varphi))^2}}\,d\varphi.$$


    Пример показать

Литература

Тест

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.


Таблица лучших: Криволинейные интегралы. Вычисление

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Криволинейные интегралы первого рода и их свойства

Определение

Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат и задана гладкая кривая  \Gamma уравнением в координатной форме, то есть \Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \}. Пусть теперь на множестве, которое входит в данное пространство задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда определенный интеграл вида:
$$\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$ называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой  \Gamma.

Свойства криволинейных интегралов первого рода

  • Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой, то есть
    $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$

    Доказательство показать

  • Криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой, то есть
    $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds = { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds $$

    Доказательство показать

  • Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

    Доказательство показать

    Замечание: если для параметризации кривой \Gamma использовать натуральный параметр (длину дуги), то криволинейный интеграл первого рода приобретет следующий вид:
    $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds, $$
    так как |r'(s)| = 1, 0\leq s\leq S.

Физический смысл криволинейных интегралов первого рода

Пусть криволинейный интеграл первого рода представлен в следующем виде:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds. $$
Если правую часть равенства записать в виде предела интегральных сумм, то тогда получим:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \underset { l(T) \rightarrow 0 }{ \lim } \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i, y_i, z_i)\Delta s_i,$$
где x_i = x(s_i), y = y(s_i), z_i = z(s_i), T — разбиение отрезка [0, S], то есть 0 = s_0 < s_1 < ... <s_n = S, \Delta s_i = s_i - s_{i-1}. Разбиению кривой \Gamma на дуги \Gamma _{s_{i-1}s_i}, i = \overline{1,n} (рисунок 1) соответствует разбиение T отрезка [0, S] (рисунок 2).


Рисунок 1 показать


Рисунок 2 показать

Если рассматривать случай, когда функция f(x, y, z) неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность распределения массы, а криволинейный интеграл \int_{\Gamma }f (x, y, z){\mathrm{d}s} - как массу кривой \Gamma.


Пример показать

Литература

Тест

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.


Таблица лучших: Криволинейные интегралы первого рода

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

М1693. О трёх окружностях

Задача из журнала «Квант» (1999, №4)

Условие

Две окружности пересекаются в точках \(P\) и \(Q\). Третья окружность с центром в точке \(P\) пересекает первую в точках \(A\), \(B\), а вторую в точках — \(C\) и \(D\) (см. рисунок). Докажите, что углы \(AQD\) и \(BQC\) равны.
1693

Решение

Треугольники \(APB\) и \(DPC\) равнобедренные. Обозначим углы при их основаниях \(\angle ABP =\angle BAP = \alpha \), \(\angle DCP =\angle CDP = \beta \). Четырехугольники \(AQBP\) и \(DQCP\) вписанные, отсюда \(\angle AQP =\angle ABP = \alpha \) и \(\angle DQP =\angle DCP = \beta \). Получаем: \(\angle AQD = \angle AQP + \angle DQP = \alpha + \beta \). Далее, \(\angle BQP =\angle BAP = \alpha \), также \(\angle CQP = \beta \) и \(\angle BQC = \angle BQP + \angle CQP = \alpha + \beta \). Значит, \(\angle AQD = \angle BQC\).

А. Заславский